Zeige für n ≥ k, dass Folgendes gilt: (n, k) 1/n^k = ...

Question

Zeige für n ≥ k, dass Folgendes gilt:

$$ \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k } \end{array} \right) \frac { 1 } { n ^ { k } } = \frac { 1 } { k ! } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \frac { n + 1 - i } { n } \leq \frac { 1 } { k ! } $$

Das erste ist der Binomialkoeffizient!

Ich beiße mir die Zähne daran aus!

Comments

Nur ein Tipp: Setz mal in der Gleichung links und rechts  n=10 und k=7 ein und schreibe alle Faktoren effektiv hin. So leuchtet die Umformung ein.

Danach kannst du's allgemein mit k und n und …  zeigen. Falls bei euch verlangt halt noch mit einem Induktionsbeweis. Das klappt bestimmt.

Answer 1

Die rechte Ungleichung ist bestimmt ok, da keiner der Faktoren im mittleren Produkt grösser als 1 ist.

Um die linke Gleichung zu begründen schreibe ich alle Faktoren aus dem mittleren Term hin und erweitere danach mit (n-k)!. Es resultiert der Term links vom Gleichheitszeichen. wzbw.

 $$ \text{mittlerer Term} = \\ \frac { 1 }{ k(k-1)(k-2)…1 } \frac { n(n-1)(n-2)…(n+1-k) }{ n*n*n…n } =\\ \frac { 1 }{ k(k-1)(k-2)…1 } \frac { n(n-1)(n-2)…(n+1-k) }{ n*n*n…n } \frac { (n-k)(n-k-1)(n-k-2)…1 }{ (n-k)(n-k-1)(n-k-2)…1 } =\\ \frac { n! }{ k!(n-k)! } \frac { 1 }{ { n }^{ k } } =\\ \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) \frac { 1 }{ { n }^{ k } } $$