Hilfe 5 klasse Potenzieren

Question

Aufgabe:

Bakterien vermehren sich schnell. Bei bestimmten Bakterien verdoppelt sich die Anzahl
etwa alle 6 Stunden. Wenn zu Beginn 100 Bakterien vorhanden sind, so sind es nach
6 Stunden 200, nach weiteren 6 Stunden 400 usw.

a) Berechne, wie viele Bakterien nach 30 Stunden vorhanden sind, wenn es zu Beginn
etwa 100 Bakterien waren.

b) Lea überlegt: "Wenn es zu Beginn nur etwa 20 Bakterien sind, dauert es etwa 14 Stunden
länger, bis die in Teilaufgabe a) errechnete Anzahl an Bakterien vorhanden ist." Beschreibe,
wie Lea ohne größere Rechnung auf ihre Überlegung gekommen sein könnte.

Problem/Ansatz: wie kann ich meinen Sohn in der 5 klasse die Lösung zu teil b verständlich erklären?

Answer 1

Aloha :)

Nach 6 Stunden verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Bei 30 Stunden haben wir also \(\frac{30}{6}=5\) Verdopplungen. Daher beträgt die Anzahl der Bakterien nach 30 Stunden:$$100\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=100\cdot2^5=100\cdot32=3200$$

Wenn zu Anfang nur 20 Bakterien vorhanden sind, muss sich deren Anzahl zunächst ver-5-fachen, um die 100 zu erreichen. Dazu brauchen sie 2 Verdopplungen (zuerst auf 40, dann auf 80) und von 80 zu 100 dann nochmal etwa ein Viertel mehr. Man kann also grob 2,3 Verdopplungen schätzen, dazu benötigen die Bakterien \(2,3\cdot6\approx13,8\approx14\) Stunden.

Comments

Vielen Dank für die einfache Erklärung

Answer 2

Es dauert erst mal eine gewisse Zeit, bis aus 20 Bakterien 100 Bakterien geworden sind und mit diesen die weiteren Verdopplungen wie in Aufgabe a) stattfinden können.

Aus 20 Bakterien werden

- nach 6 Stunden 40 Bakterien

- nach 12 Stunden 80 Bakterien

- nach  18 Stunden 160 Bakterien

Um also aus 20 Bakterien 100 Bakterien zu machen braucht man eine Zeit, die länger als 12 Stunden, aber weniger als 18 Stunden dauert. Da nun 80 deutlich näher an 100 liegt als 160, wird die Zeit etwas näher an 12 Stunden als an 16 Stunden liegen. Deshalb hat man nicht den Mittelwert 15 h genommen, sondern etwas weniger. Es dauert rund 14 Stunden, bis aus 20 Bakterien 100 Bakterien geworden sind. (Das ist nur ein grober Näherungswert, aber die Größenordnung stimmt).