12. Gegeben ist die Funktion \( f(x)=2 x e^{x}+3 \).
a) Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{f} \) für \( -4 \leq \mathrm{x} \leq 1 \).
b) Bestimmen Sie die Extremalpunkte und Wendepunkte von \( \mathrm{f} \) und untersuchen Sie durch Testwerte das Verhalten von \( \mathrm{f} \) für \( \mathrm{x} \rightarrow \pm \infty \).
c) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von \( \mathrm{f} \). Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen dem Graphen von \( \mathrm{f} \) und der \( \mathrm{x} \) -Achse über \( [0 ; \mathrm{I}] \).
d) Die Fläche A wird durch die Gerade \( \mathrm{y}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x} \) zweigeteilt. Zeigen Sie, dass die beiden Teilflächen gleich groß sind.
13. Gegeben sind die Funktionen \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=6-\frac{3}{\mathrm{e}^{x}+1} \) und \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\ln \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right) \).
a) Untersuchen Sie die Funktion \( \mathrm{f} \) auf Achsenschnittpunkte und bestimmen Sie das Verhalten von \( \mathrm{f} \) für \( \mathrm{x} \rightarrow \pm \infty \). Zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{f} \) für \( -6 \leq \mathrm{x} \leq 6 \)
b) Weisen Sie nach: \( f(x)=3+\frac{3 e^{x}}{e^{x}+1} \).
c) Nun wird die Funktion g betrachtet. Geben Sie den Definitionsbereich von g an. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für \( \mathrm{x} \rightarrow-\infty \). Weisen Sie nach: Die Funktion g nimmt nur Steigungswerte zwischen 0 und 1 an.
d) Leiten Sie durch geschickte Ausnutzung der bisherigen Ergebnisse eine Stammfunktion von \( \mathrm{f} \) her und berechnen Sie die Fläche A zwischen dem Graphen von \( \mathrm{f} \) und der horizontalen Geraden \( \mathrm{y}(\mathrm{x})=6 \) über dem Intervall \( \mathrm{I}=[0 ; 5] \).
Problem:
Bitte nur die Aufagben 12) d und 13) d berechnen.