Nullstellen berechnen mit x^4 und x^3

Question

Wie berechne ich die Nullstellen von:

0= 0,01*(-x⁴  + 51x³ - 943x² +7497x -21364)

Ansatz:

Ich habe die Funktion erst vereinfacht, also das was in der Klammer steht/100 aufgeschrieben und wollte dann ein x ausklammern, aber dann kommt ja (-x³ ...) raus.

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Dazu nimmt man den Taschenrechner.

und wollte dann ein x ausklammern

Das macht man, wenn man danach den Satz vom Nullprodukt anwenden kann.

Comments

Man könnte auch die Teiler des absoluten Gliedes 21364 ermitteln und nacheinander testweise einsetzen, um so die erste ganzzahlige Lösung zu finden.

Dabei beginnt das Problem bereits an der unter vielen Mathelehrern verbreiteten Meinung, es gäbe keine Quersummenregel, um die Teilbarkeit durch 7 festzustellen.

Sofern man diese Regel beherrschen sollte, wäre 7 hier ein Treffer.

Danach eine Polynomdivision durch den Linearfaktor (x-7) durchführen, um den dabei entstehenenden Polynom dritten Grades mit der Cardanischen Formel zu lösen.

So ist diese Aufgabe in wenigen Stunden auch ohne elektronische Rechnerhilfe lösbar ;)

Answer 2

Aloha :)

$$0=-0,01(x^4-51x^3+943x^2-7497x+21364)$$Bei solchen Polynomen kann man erstmal versuchen, ganzzahlige Nullstellen zu finden. Eine ganzzahlige Nullstelle muss die Zahl ohne \(x\), also hier \(21364\) teilen. Wir schauen uns daher die Primfaktoren von \(21364\) an:$$21364=2^2\cdot7^2\cdot109$$Durch Ausprobieren findet man, dass \(x=7\) eine Nullstelle ist. Wir führen daher mit dem Horner-Schema eine Polynomdivision durch:$$\begin{array}{r}1 & &-51 & & 943 & & -7497 & & 21364\\\hline\downarrow&\cdot7 & 7 &\cdot7 & -308 &\cdot7 & 4445 &\cdot 7 & -21364\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & -44& & 635 & & -3052 & & 0\end{array}$$Damit lautet die Gleichung nun:$$0=-0,01(x-7)(x^3-44x^2+635x-3052)$$Das verbliebene Polynom 3-ten Grades hat noch eine Nullstelle bei \(x\approx19,24\), die ich jedoch nur numerisch berechnen konnte.

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\(x= \frac{1}{3}(44+\sqrt[3]{656-9 \sqrt{4945}}+\sqrt[3]{656+9 \sqrt{4945}}) \)