Aloha :)
Du musst das Integral immer von einem Schnittpunkt zum nächsten berechnen und von jedem Teilintegral den Betrag nehmen. Die Differenz der Funktionen lautet:
$$f(x)-g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x-\left(\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^2-2x$$$$\phantom{f(x)-g(x)}=\frac{x}{3}\left(x^2-x-6\right)=\frac{x}{3}(x-3)(x+2)$$Wir finden 3 Nullstellen bei \(x=-2,x=0,x=3\) und brauchen daher 2 Integrale:
$$F=\left|\int\limits_{-2}^0\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^2-2x\right)\right|+\left|\int\limits_0^3\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^2-2x\right)\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{9}-x^2\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{9}-x^2\right]_0^3\right|$$$$\phantom{F}=\left|\frac{(-2)^4}{12}-\frac{(-2)^3}{9}-(-2)^2\right|+\left|\frac{3^4}{12}-\frac{3^3}{9}-3^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|\frac{16}{12}+\frac{8}{9}-4\right|+\left|\frac{81}{12}-3-9\right|=\frac{16}{9}+\frac{21}{4}=\frac{235}{36}=7,02\overline{7}$$
