Sind die Geraden parallel oder sogar identisch?

Question

hallo.

Ich habe die Fkt. :

g:\( \vec{x} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix} \)

h::\( \vec{x} \) =\( \begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1\\-4\\-2 \end{pmatrix} \)

ich soll untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind.

Ansatz: Richtungsvektoren = Vielfache=> parallel oder identisch

2. Punktprobe: \( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1\\-4\\-2 \end{pmatrix} \)

I 1= 3+t

II 0=3-4t

III 3=3-2t

t= -2 ; t=4/3; t= 0

ich habe also 3 unterschiedliche Lösungen für t. sind die Geraden in diesem Fall parallel oder identisch?

Comments

Identisch können sich aufgrund der unterschiedlichen Radiusvektoren nicht sein.

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Identisch können sich aufgrund der unterschiedlichen Radiusvektoren nicht sein.

Was genau sind Radiusvektoren?

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Ein Synonym für Ortsvektoren.

Answer 1

Aloha :)

Die Richtungsvektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen:$$\left(\begin{array}{c}1\\-4\\-2\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}-1\\4\\2\end{array}\right)$$Damit sind die beiden Geraden schon mal parallel. Wenn die Geraden identisch wären, müssten wir zum Beispiel den Punkt \((3|3|3)\) der Geraden \(h\) auch auf der Geraden \(g\) finden. Das prüfen wir nach:$$\left(\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\4\\2\end{array}\right)\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)$$Aus der z-Koordinaten folgt die Bedingung \(3+2t=3\) und daraus folgt \(t=0\). Dann haben wir aber einen Widerspruch bei der y-Koordinaten, denn \(0+0\cdot4\ne3\). Also liegt der Punkt \((3|3|3)\) nicht auf der Geraden \(g\).

Die beiden Geraden sind also parallel, aber nicht identisch.

Comments

ok das mit den entgegengesetzten Richtungen wusste ich gar nicht

vielen Dank, sehr hilfreich :D

Answer 2

Wenn der Punkt (1|0|3) ein Punkt von h WÄRE, müsste es EIN t geben, welches erlaubt, den Punkt als Punkt von h darzustellen. Dieses EINE t gibt es nicht, also liegt (1|0|3) nicht auf h.

Somit können die Geraden nicht identisch sein.

Comments

die Geraden sind also parallel, richtig?

Answer 3

Ich habe also 3 unterschiedliche Lösungen für t. sind die Geraden in diesem Fall parallel oder identisch?

Falls du richtig gerechnet hast, ist die Punktprobe schiefgelaufen und mindestens ein Punkt von g liegt nicht auf h. Was heißt das?

Comments

ja eig. dass die Geraden sich nicht treffen also parallel sind...denke ich...

ich will sicher gehen...ist es richtig?

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Nein, das bedeutet zunächst nur, dass die beiden Geraden nicht identisch sein können. Die mögliche Parallelität muss noch begründet werden.

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und wie geht das?