Funktionsgraph symmetrisch

Question

wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?

Untersuche, ob der Funktiomnsgraph symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist.

1. f(x)=-0,25x^5 +3x

2.f (x)= x^3 - 5x+1

!

Answer 1

Achsensynmmetrisch zu y-Achse f ( x ) = f(-x )
Punktsymmetrisch zum Ursprung f ( x ) = - f ( -x )

f(x)= - 0,25 * x^5 +3x
f ( -x ) = - 0.25 * (-x)^5 + 3(-x) = 0.25 * x^5 - 3x  | Nix
- f ( -x ) = -(0.25 * x^5 - 3x)  = - 0.25 x^5 + 3x | Ja...Punkt...

Und jetzt du
2.f (x)= x^3 - 5x+1

Answer 2

Der Graph der ersten Funktion ist symmetrisch zum Ursprung weil es nur ungerade Exponenten gibt (5,1). Beim Graph der zweiten Funktion ist keine Symmetrie erkennbar, weil es gerade und ungerade Exponenten gibt (3,1,0).

Answer 3

Der Graph der Funktion $$ f(x) = x^{3} - 5x + 1 $$ ist symmetrisch zum Punkt \(\left(0\vert 1\right)\).

Im übrigen sind die Graphen aller ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 punktsymmetrisch.

Answer 4

Merke:

Ein Polynom ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn x nur in geraden Potenzen auftritt. Es ist punktsymmetrisch zum Ursprung wenn x nur in ungeraden Potenzen auftritt.

Bei f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e sind die blauen Summanden die geraden Potenzen von x und die roten Summanden die ungeraden Potenzen von x. Dabei kann e auch als ex^0 geschrieben werden.

1. f(x) = -0,25x^5 + 3x

Da nur ungerade Potenzen von x vorhanden sind ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung

2. f(x) = x^3 - 5^x + 1

Da hier leider sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von x vorhanden sind besitzt die Funktion keine untersuchte Symmetrie. Wir hätten hier allerdings eine Punktsymmetrie zum Punkt (0 | 1).