Zeigen Sie, dass die Matrix A:= S * DT * S ∈ M (3x3, ℝ) symmetrisch ist.

Question

Aufgabe: Die Matritzen S ∈ O(3) und D ∈ M (3x3, ℝ), seien gegeben. Dabei ist D eine Diagonalmatrix.

Zeigen Sie, dass die Matrix A:= S * DT * S ∈ M (3x3, ℝ) symmetrisch ist.

Problem: Wie gehe ich hier vor?

Comments

Die Aussage stimmt so wohl nicht. Sollte es A := S·D·S^-1 heißen?

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Entschuldigung, nein, das T gehört in den Exponenten von D. denke ich jedenfalls.

Entweder lautet es: A:= S * D^T * S oder A:= S * D * S^T , das lässt sich bei dem Abdruck schwer erkennen, da unser Prof das Transponiert-Zeichen leider nicht konstant immer links oben oder rechts oben schreibt, sondern gerne mal durchmischt und beide Varianten nutzt.

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\(A:= S \cdot D \cdot S^T\) gibt Sinn.

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Falls es A := S·D^T·S lautet, ist die Aussage falsch. Falls es A := S·D·S^T lautet, dann gilt
A^T = (S·D·S^T)^T = (S^T)^T·D^T·S^T = S·D·S^T = A, allerdings auch für S ∉ O(3).

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten zuerst eine wichtige allgemeine Rechenregel für Matrizen.

Für \(A\in\mathbb K^{l\times m}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\) gilt \(AB\in\mathbb K^{l\times n}\) bzw. \((AB)^T\in\mathbb K^{n\times l}\). Wir betrachten das Element \((AB)^T_{ik}\) der transponierten Produktmatrix mit \(i=1,\ldots,n\) und \(k=1,\ldots,l\):$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^m a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^m (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Komponenten der transponierten Produktmatrix durchgeführt werden kann, gilt allgmeien:$$(AB)^T=B^TA^T$$

Mit diesem Wissen ist die Aufgabe übersichtlich lösbar:

Die Gruppe \(O(3)\) enthält alle reellen orthogonalen \(3\times3\)-Matrizen, d.h für \(S\in O(3)\) gilt: \(S^{-1}=S^T\). Da \(D\) eine reelle \(3\times3\) Diagonalmatrix ist, gilt auch \(D^T=D\).

Mit \((AB)^T=B^TA^T\) kannst du nun schreiben:

$$A^T=(SD^TS^T)^T=(S(D^TS^T))^T=(D^TS^T)^TS^T=(\,(S^T)^T(D^T)^T\,)S^T$$$$\phantom{A^T}=SDS^T\stackrel{(D^T=D)}{=}SD^TS^T=A$$

Die besondere Eigenschaft \(S^{-1}=S^T\) der Matrizen \(S\in O(3)\) haben wir gar nicht benötigt, d.h. die Symmetrie gilt für jede beliebige reelle \(3\times3\)-Matrix \(S\).