Aufgabe:
Ich habe 2 Aufgaben in der Mengenlehre, die sich ähnlich sind, aber mich zum Verzweifeln bringen, weil ich wahrscheinlich zu kompliziert denke.
Ich soll die Aussagen beweisen.
1. Aufgabe
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
2. Aufgabe
A \ ( B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
Problem/Ansatz:
1. Aufgabe
∀x muss gelten x∈ A \ (B ∩ C) ⇔ x∈ (A \ B) ∪ (A \ C)
Sei x beliebig aber fest
\( x \in A \backslash(B \cap C) \Leftrightarrow x \in A \wedge \neg(x \in B \cap C) \)
$$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow x \in A \wedge \neg(x \in B \wedge x \in C) \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge \neg(x \in B) \wedge \neg(x \in C) \end{array} $$
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ((x \in A) \wedge \neg(x \in B)) \vee ((x \in A) \wedge \neg(x \in C)) \\
\Leftrightarrow x \in(A \backslash B) \vee x \in(A \backslash C) \\
\Leftrightarrow x \in(A \backslash B) \cup(A \backslash C)
\end{array}
An dieser Stelle habe ich mein Problem oder denke ich zu kompliziert.
In der oberen Menge muss x ja in A sein, darf aber gleichzeitig nicht in der Menge B und C sein.
Beim unteren ist die Aussage ja es muss x in der Menge A sein und darf entweder nicht in B oder in C sein. So könnte ja der Fall auftreten, dass ein x zwar in A und nicht in B ist, aber trotzdem in C liegt bzw. umgekehrt x in A ist und nicht in C, aber trotzdem in B sein könnte.
Für mich wären die Aussagen jetzt nicht gleich, aber ich zweifel halt.
2. Aufgabe
ist im Grunde das gleiche, wo ich sogesehen an der selben Stelle hänge.
Vielen Dank an eure Hilfe, villeicht kann mir ja jemand meinen oder Denkfehler aufzeigen
