Gleichung für ABC-Formel umstellen

Question

Guten Nachmittag,

wie stelle ich diese Gleichung so um, dass ich die ABC-Formel anwenden kann? Wenn ich die Terme normal zusammenfasse und umstelle komme ich nicht auf die richtige Lösung. Wo liegt mein Fehler?

Hier die Gleichung:

$$2+\frac { 0,25 }{ (1+x) } +\frac { 2 }{ { (1+x) }^{ 2 } } =1+\frac { 4 }{ (1+x) } +\frac { 3 }{ { (1+x) }^{ 2 } } $$

Problem/Ansatz:

Ich komme bis an den Punkt:

$$1-\frac { 3,75 }{ (1+x) } =\frac { 1 }{ { (1+x) }^{ 2 } } $$

Wie geht es dann weiter?

Vielen Dank schonmal!

Lg,

MatheJoe

Answer 1

2 + 0.25/(1 + x) + 2/(1 + x)^2 = 1 + 4/(1 + x) + 3/(1 + x)^2

Subst. z = 1 + x     (erspart viel Schreibaufwand ist aber nicht unbedingt nötig)

2 + 0.25/z + 2/z^2 = 1 + 4/z + 3/z^2

Mal z^2

2·z^2 + 0.25·z + 2 = 1·z^2 + 4·z + 3

z^2 - 3.75·z - 1 = 0

Hier gibt die abc-Formel jetzt die Lösung: z = -0.25 ∨ z = 4

Resubstitution ergibt dann noch die Lösungen für x.

Comments

Wo wo muss man die Werte für z denn einsetzen, um die Lösungen für x zu bekommen?

Vielen Dank!

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Hat sich erledigt! Danke :)

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z = 1 + x → x = z - 1

x = 4 - 1 = 3
x = -0.25 - 1 = -1.25

Answer 2

Multipliziere die Gleichung mit (1+x)².

Answer 3

Aloha :)$$\left.2+\frac{0,25}{(1+x)} +\frac {2}{ {(1+x) }^{ 2 } } =1+\frac { 4 }{ (1+x) } +\frac { 3 }{ { (1+x) }^{ 2 } } \quad\right|\;\cdot(1+x)^2$$$$\left.2(1+x)^2+0,25\cdot(1+x)+2=(1+x)^2+4(1+x)+3\quad\right|\;-(1+x)^2$$$$\left.(1+x)^2+0,25\cdot(1+x)+2=4(1+x)+3\quad\right|\;-4(1+x)$$$$\left.(1+x)^2-3,75\cdot(1+x)+2=3\quad\right|\;-3$$$$\left.(1+x)^2-\frac{15}{4}\cdot(1+x)-1=0\quad\right|\;\text{pq-Formel}$$$$1+x=\frac{15}{8}\pm\sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^2+1}=\frac{15}{8}\pm\sqrt{\frac{289}{64}}=\frac{15}{8}\pm\frac{17}{8}$$$$\Rightarrow\quad 1+x=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\quad;\quad 1+x=\frac{32}{8}=4$$$$\Rightarrow\quad x=-\frac{5}{4}\quad;\quad x=3$$