Vollständige Induktion Ungleichung );

Question

Aufgabe:

\( \frac{n}{2}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<n, \quad \) für \( n \geq 2 \)

Problem/Ansatz:

Den Induktionsanfang habe ich schon hinter mir. Beim Induktionsschritt \( n\rightarrow n+1 \) habe ich mir folgende Gedanken gemacht:

1. $$ \frac{n+1}{2}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}-1}<n+1 $$

2. $$ \frac{n}{2}+\frac{1}{2}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}-1}<n+1 $$

Jetzt möchte ich die Induktionsannahme einsetzen und aus der Ungleichung rausnehmen:

3. $$ \frac{1}{2}<\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}-1}<1 $$

Falls das überhaupt Sinn ergibt, was ich bisher gemacht habe, würde ich euch gerne um Rat bitten, wie ich dann die 3. Zeile beweise.

Answer 1

3. ist wahr; denn es sind zwischen den Ungleichheitszeichen 2^n Summanden, die

             1.  allesamt kleiner als 1/2^n sind, also deren Summe kleiner als 2^n * 1/2^n = 1 und

             2.   allesamt größer als 1/2^(n+1)  sind, also deren Summe größer als 2^n * 1/2^(n+1) = 1/2.

Comments

Vielen Dank, jetzt habe ich es endlich verstanden. Ich habe in einem anderen Forum eine hilfreiche Antwort dazu bekommen, aber das hier war die perfekte Ergänzung.

Answer 2

Wenn der allgemeine Summand einer Reihe \( \frac{1}{2^n-1} \) ist, dann heißt die Reihe 1+\( \frac{1}{3} \) +\( \frac{1}{7} \) +\( \frac{1}{15} \) +...

Comments

Das ist der aber hier nicht.

Answer 3

Aloha :)

$$S_n=\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k}\quad;\quad n\ge2$$

$$S_n=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{2^n-1}\right)$$$$\phantom{S_n}<1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)$$$$\phantom{S_n}=n$$

Packen wir noch den Summand \(\frac{1}{2^n}\) hinzu setzen \(S'_n=S_n+\frac{1}{2^n}\):

$$S'_n=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)$$$$\phantom{S'_n}>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^n}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)$$$$\phantom{S'_n}>1+\frac{n}{2}$$