Gerade h bildet mit x,y-achse dreieck, Flächeninhalt?

Question

Aufgabe:

Punkte P(4,1), Q(2,5), R(10,4) gegeben.

1. geben sie die gerade g durch P und Q an, sowohl als Funktionsgleichung als auch in Punkt-Richtungs-Form.

2.welcher abstand von g zum ursprung

3. zu g senkrechte gerade h, die punkt R enthält.

4. gerade h bildet mit koordinatenachse ein dreieck. welchen flächeninhalt bildet dies dreieck.

Meine Ergebnisse bisher:

Zu 1:

Punkt-Richtungs-Form:

g: \( \vec{x} \) =  \( \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix} \)  + t \( \begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix} \)

Funktionsgleichung:

f(x)=-2x+9

Zu 2:

d ≈ 4,02

Zu 3:

h: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} \)  + s \( \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix} \)

Zu 4:

???

Leider weiss ich mir bei Aufgabe 4 nicht wirklich zu helfen und wäre sehr dankbar für ein paar Denkanstöße/ Lösungsvorschläge...

Falls jemand Lust hat meine Ergebnisse zu überprüfen, wäre das natürlich überragend :)

Besten Dank!

Answer 1

Hallo,

Deine Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 3 sind richtig. Zwei Bemerkungen

1.) statt \(\approx 4,02\) ist es besser den exakten Wert von \(\frac 95 \sqrt 5\) anzugeben.

2.) Richtungsvektoren kann man verkleinern, wenn die Koordinaten einen größten gemeinsamen Teiler größer 1 haben. Z.B. $$g: \space \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$$wäre genauso richtig.

zu 4) mache Dir eine Skizze, dann sollte doch schon klar sein, was zu tun ist.

\(g\) schneidet die X-Achse bei \((4,5|\, 0)\) und die Y-Achse bei \((0|\,9)\). Letzteres kann ja schon aus der Funktionsgleichung von \(g\) ablesen. Dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a=4,5\) und \(b=9\) und der Flächeninhalt \(F\) ist$$F = \frac 12 ab = 20,25$$Ops! ich habe es für \(g\) gemacht, statt für \(h\). Bei \(h\) ist es das kleine Dreieck rechts unterhalb vom Ursprung \(O\) mit \(F = 1\). Und so sieht's aus

Das schaffst Du auch alleine - oder?

Gruß Werner

Comments

Danke Werner!

Sollte mir angewöhnen eine Skizze zu machen, damit versteh ich es auf Anhieb :)

Könntest Du trotzdem so nett sein und den Rechenweg ohne Skizze mit Bezug zum Ergebnis aus 3. nochmal weiter erläutern? Also kann man die nötigen Schnittpunkte mit den Achsen auch mit Vektorrechnung rausbekommen?

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Sollte mir angewöhnen eine Skizze zu machen, damit versteh ich es auf Anhieb :)

Lass Dir diesen Satz in großen Buchstaben ausdrucken und hänge ihn Dir über's Bett! ;-)

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aus 3. nochmal weiter erläutern?

Du meinst zu 4. - oder?

Also kann man die nötigen Schnittpunkte mit den Achsen auch mit Vektorrechnung rausbekommen?

Ja sicher - das kommt später auch noch öfter vor. Die Gerade \(h\) hat die Punkt-Richtungsform $$h: \space \vec x = \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2\end{pmatrix}$$Im Schnittpunkt mit der X-Achse muss der Y-Wert gleich 0 sein - also$$ \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x_0\\ y=0 \end{pmatrix}$$aus der zweiten Zeile der Vektorgleichung folgt$$4 + 2s = 0 \implies s = -2$$Dieses \(s\) in die erste Zeile der Vektorgleichung einsetzen$$10 + (-2) \cdot 4 = x_0 \\ \implies x_0 = 2$$Der Schnittpunkt von \(h\) mit der X-Achse liegt also bei \((2|\,0)\).

Im Schnittpunkt von \(h\) mit der Y-Achse muss \(x=0\) sein$$ \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x= 0\\ y_0 \end{pmatrix}$$aus der ersten Zeile folgt$$10 + 4s = 0 \implies s = -\frac 52$$Einsetzen von \(s\) in die zweite Zeile gibt \(y_0\)$$4 + \left(- \frac 52\right) \cdot 2 = y_0 \\  \implies y_0 = -1$$

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Vielen Dank!