Aufgabe:
Die Punkte A (1;1;1), B (3;2;2), D(3;3;4) und E (4;7;2) sind Eckpunkte eines schiefen Prismas ABCDEFGH mit ABCD als Grundfläche und AE als Seitenkante. Berechnen sie das Volumen des Prismas.
Problem/Ansatz:
Ich habe die Aufgabe schon mehr mals durchgerechnet, komme aber immer auf ein falches Ergebnis (Lsg = 19).
Deswegen würde ich mich über einen ausführlichen Lösungsweg freuen.
Der Punkt C ist nicht angegeben. Soll ABCD ein Parallelogramm sein?
Wenn ja: Kennst du das Spatprodukt? Mit dem kannst das Volumen berechnen.
Wolframalpha
ja, klar ist mir das bekannt. Damit habe ich auch gerechnet. Wie kommst du auf die Vektoren, mit welchen du bei https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cdeterminant%7B%7B2%2C1%2C1%7D%2C%7B2%2C2%2C3%7D%2C%7B3%2C6%2C1%7D%7D%7C rechnest
A als Anfangspunkt, die anderen drei als Zielpunkte. Also von allen Zielpunkt - Koordinaten 1 subtrahieren.
Ich habe die Aufgabe schon mehrmals durchgerechnet,
Na dann: Wie groß ist deine Grundfläche? Und wie hast du den Abstand von E zu dieser Grundfläche berechnet?
Irgendwo muss der Fehler doch stecken.
4,58 für die Grundfläche.
Und der Vektor AE lautet (3;6:1)
Dann trifft vermutlich die (von dir unbeantwortete Rückfrage zu, ob ABCD ein Parallelogramm ist.
Ich habe das Vektorprodukt \(\vec{AB}\times\vec{AD} \) gebildet und \( \begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix} \) mit dem Betrag √21 (also rund 4,58) erhalten.
Aus den Werten des Vektorprodukts lässt sich ablesen, dass die Grundfläche in einer Ebene der Form 1x-4y+2z=d liegt.
Kannst du das richtige d bestimmen?
Dann brauchst du für die Höhe den Abstand des Punktes E zu dieser Ebene.
Erzeuge dazu eine Gerade durch E mit dem Richtungsvektor \( \begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix} \) und lasse diese Gerade die Ebene schneiden. Der Abstand von E zum Schnittpunkt ist die Höhe des Prismas.
Du bist dir aber hoffentlich bewusst, dass der Betrag von AE NICHT die Höhe des schiefen(!!) Prismas ist.
kann man nicht ganz unkompiziert V= | (AB × AD) * AE | rechenen?
Ja, kannst du machen. Ich wusste nicht, ob ihr das Spatprodukt schon hattet.
Umso mehr verwundert mich, dass du nicht das Ergebnis der Musterlösung erhältst.
Ja das wundert mich eben auch. Ich habe das schon mehrfach durchgerechnet, aber ich habe keinen Fehler im Rechenweg finden können. Deswegen frage ich ja, nach einer ausfühlichen Lsg, damit ich die Werte abgleichen kann.
Und warum gleichst du nicht ab?
\(\vec{AB}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix}\) hatte ich dir bereits geschrieben. Davon ist nun noch das Skalarprodukt mit DEINEM Vektor \(\begin{pmatrix} 3\\6\\1 \end{pmatrix}\) zu bilden. Da hast du NICHT -19 erhalten?
Hatte das selbe Vektorprodukt und den selben Vektor AE.... Jetzt im nachhinein komme ich auch auf -19. Ich schau nochmal wo der Fehler liegt. Besten Dank!
(([3, 2, 2] - [1, 1, 1]) ⨯ ([3, 3, 4] - [1, 1, 1]))·([4, 7, 2] - [1, 1, 1])
= ([2, 1, 1] ⨯ [2, 2, 3])·[3, 6, 1]
= [1, -4, 2]·[3, 6, 1]
= -19
Das Volumen beträgt daher 19 VE.
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