Ermitteln aller Lösungen in kartesischer Form

Question

liebe Mathefreunde,

ich habe einige Aufgaben zur Wiederholung vor mir liegen und mit einer davon komme ich leider gar nicht zurecht.

Aufgabenstellung:

Es sollen alle Lösungen von \( x^{4} \) + 1 = 0 in kartesischer Form ermittelt werden.

Lösungsansatz:

Mir fehlt leider jeglicher Ansatzpunkt, da mir schlicht und ergreifend nicht klar ist, was ich tun soll. Prinzipiell muss ich bei der kartesischen Form immer an die komplexen Zahlen denken. Hättet Ihr einen Ansatz für mich, wie ich diese Aufgabe angehen kann oder zumindest einige Stichwörter, damit ich die betreffenden Themengebiete aufarbeiten und verstehen kann?

und ein schönes Wochenende
Christina

Comments

Du sollst alle Lösungen der Gleichung X^4 + 1 = 0 in der Form a+b*i darstellen.

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ihr drei,

entschuldigt bitte meine späte Antwort. Ich muss am Wochenende leider arbeiten und kann mich daher erst jetzt wieder der Mathematik widmen.

Vielen Dank für Eure Antworten! Ich glaube, es hat bei mir im Kopf "Klick" gemacht und jetzt dämmert mir wieder, worum es geht. Ich arbeite den dafür notwendigen Stoff auf und versuche dann, Eure Lösungen nachzuvollziehen bzw. die Aufgabe selbstständig zu lösen und dann mit Euren Lösungen zu vergleichen.

Das kann eventuell ein paar Tage dauern, weil ich mich nur an den Abenden darum kümmern kann. Ich werde mich aber auf jeden Fall wieder melden und Euch eine Rückmeldung geben.

Vielen Dank für Eure Hilfe
Christina

Answer 1

x^4 + 1 = 0

x^4 = -1

x^4 = e^((pi + k·2·pi)·i)

x = e^((pi + k·2·pi)/4·i)

x = e^(pi/4 + k/2·pi)·i)

x1 = e^(1/4·pi·i) = √2/2 + √2/2·pi
x2 = e^(3/4·pi·i) = -√2/2 + √2/2·pi
x3 = e^(5/4·pi·i) = -√2/2 - √2/2·pi
x4 = e^(7/4·pi·i) = √2/2 - √2/2·pi

Habt ihr auch gelernt was grafisch passiert, wenn man die Wurzel zieht?

Answer 2

Aloha :)$$x^4=-1=i^2\quad\Rightarrow\quad x^2=\pm i=\left\{\begin{array}{l}=i\\=i^2\cdot i\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad x=\left\{\begin{array}{l}=\pm\sqrt i\\=\pm i\cdot \sqrt i\end{array}\right.$$$$\sqrt i=\sqrt{e^{i\pi/2}}=e^{i\pi/4}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}+i\,\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1+i}{\sqrt2}$$Damit haben wir die 4 Lösungen gefunden:$$x_1=\sqrt i=\frac{1+i}{\sqrt2}\quad;\quad x_2=-\sqrt i=\frac{-1-i}{\sqrt2}$$$$x_3=i\sqrt i=\frac{-1+i}{\sqrt2}\quad;\quad x_4=-i\sqrt i=\frac{1-i}{\sqrt2}$$

~plot~ {0,707|0,707} ; {-0,707|-0,707} ; {-0,707|0,707} ; {0,707|-0,707} ; +sqrt(1-x^2); -sqrt(1-x^2) ; [[-1,55|1,55|-1,05|1,05]] ~plot~