Wie zeige ich Transitivität einer Äquivalenzrelation?

Question

sei (a,b)~(c,d) :<=> a+d = b+c eine Relation. Zeige, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.

Ich habe bereits gezeigt, dass die Relation reflexiv und symmetrisch ist. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich zeige, dass sie transitiv ist.

Kann mir das jemand weiterhelfen?

Answer 1

a+d=b+c kannst du umformen zu a-b = c-d.

Die Paare (a,b) und (c,d) sind also äquivalent zueinander, wenn sie die gleiche Differenz (erste Zahl - zweite Zahl) haben.

Wenn nun a-b=c-d und c-d = e-f gilt, ....

Comments

Dankeschön! Sehe es nun.

Answer 2

Seien (a,b),(c,d) und (e,f) gegeben mit

(a,b)~(c,d) und (c,d)~(e,f)

Folgere daraus, dass auch (a,b)~(e,f)

Comments

Theoretisch müsste es so sein:

a+d=c+b und c+f=d+e und dann muss ich auf a+f=b+e kommen aber der Schritt ist mir nicht ganz klar: Wie folgere ich a+f=b+e aus a+d=c+b und c+f=d+e?

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Wie folgere ich a+f=b+e aus a+d=c+b und c+f=d+e?
 a+d=c+b und c+f=d+e

==> d = c+b-a und d = c+f-e

==>    c+b-a =  c+f-e

==>  b-a =  f-e

==> b+e = a+f .   q.e.d.