Transitivität bei beim Beweis für eine Äquivalenzrelation zeigen

Question

Komme bei der transitivität nicht weiter

R = { (a, b) ∈ N × N | ∃k ∈ N : a · b = k hoch 2 }

Genauer: "es soll nachgewiesen werden, dass r eine ÄR ist, reflexivität und Symmetrie habe ich schon nachgewiesen"

Comments

Jede Äquivalenzrelation ist transitiv.

Ist denn sicher, dass R eine Äquivalenzrelation ist?

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ja es soll nachgewiesen werden, dass r eine ÄR ist, reflexivität und Symmetrie habe ich schon nachgewiesen

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Vielleicht könnte man über die Anzahl der Teiler von k gehen.

Habe vorher auch kein Gegenbeispiel für Transitivität hinbekommen. D.h. es könnte schon stimmen.

Ist k eine Primzahl, so gilt

(k,k) Element R

Aneinanderhängen von (k,k) und (k,k) gibt immer noch (k,k) . Alles in R.

(1,k^2) , (k^2, 1) gibt (1,1) , wieder eine Quadratzahl

analog

(k^2,1) , (1, k^2) gibt (k^2, k^2), auch k^4 ist ja eine Quadratzahl.

Dann z.B. ein k^2 mit mehr Teilern:

k^2 = 36

(2,18) in R, (18,2) in R

(6,6), (4,9), (9,4) usw.

Ergibt dann z.B. (4,4) und (9,9) beides (also 16 und 81) wieder Quadratzahlen.

Der gleiche Teiler scheint bisher automatisch immer in gerader Anzahl vorzukommen.

Update: Der fertige Beweis von NeverGiveUp ist bequemer.

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$$\text{Seien }(a,b),(b,c)\in R.$$

$$\text{Dann existieren } k_1,k_2\in \mathbb{N} \text{ so, dass } a\cdot b = k_1^2 \text{ und } b\cdot c = k_2^2.$$

$$\text{Multiplizieren beider Gleichungen führt zu } a\cdot b \cdot b \cdot c = a\cdot b^2 \cdot c =  k_1^2 \cdot k_2^2.$$

$$\text{Es ist aus den Gleichungen ersichtlich } b^2\neq 0 \text{ ist Teiler von } k_1^2\cdot k_2^2.$$

$$\text{Damit ist } \frac{k_1^2\cdot k_2^2}{b^2} = \left(\frac{k_1\cdot k_2}{b}\right)^2 \text{ und insbesondere auch } \frac{k_1\cdot k_2}{b} \text{ ebenfalls eine natürliche Zahl.}$$

$$\text{Also folgt } a\cdot c = \frac{k_1^2\cdot k_2^2}{b^2} = \left(\frac{k_1\cdot k_2}{b}\right)^2 \text{ und } \frac{k_1\cdot k_2}{b}\in \mathbb{N}.$$

$$\text{Damit folgt } (a,c)\in R \text{ für } b\neq 0.$$

$$\text{Für } b=0 \text{ wird die Transitivität im Allgemeinen nicht erfüllt.}$$

$$\text{Das ist aber abhängig von eurer Definition der natürlichen Zahlen.}$$

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Schreib das doch als "Antwort". Schön gemacht!

Answer 1

Analog meinem Kommentar:

$$\text{Seien }(a,b),(b,c)\in R.$$

$$\text{Dann existieren } k_1,k_2\in \mathbb{N} \text{ so, dass } a\cdot b = k_1^2 \text{ und } b\cdot c = k_2^2.$$

$$\text{Multiplizieren beider Gleichungen führt zu } a\cdot b \cdot b \cdot c = a\cdot b^2 \cdot c =  k_1^2 \cdot k_2^2.$$

$$\text{Es ist aus den Gleichungen ersichtlich } b^2\neq 0 \text{ ist Teiler von } k_1^2\cdot k_2^2.$$

$$\text{Damit ist } \frac{k_1^2\cdot k_2^2}{b^2} = \left(\frac{k_1\cdot k_2}{b}\right)^2 \text{ und insbesondere auch } \frac{k_1\cdot k_2}{b} \text{ ebenfalls eine natürliche Zahl.}$$

$$\text{Also folgt } a\cdot c = \frac{k_1^2\cdot k_2^2}{b^2} = \left(\frac{k_1\cdot k_2}{b}\right)^2 \text{ und } \frac{k_1\cdot k_2}{b}\in \mathbb{N}.$$

$$\text{Damit folgt } (a,c)\in R \text{ für } b\neq 0.$$

$$\text{Für } b=0 \text{ wird die Transitivität im Allgemeinen nicht erfüllt.}$$

$$\text{Das ist aber abhängig von eurer Definition der natürlichen Zahlen.}$$