Ableitung von ln(x+√(1+x^2))

Question

Moin Mathefreunde,

ich versuche schon seit Stunden diese Ableitung zu lösen:

15. \( f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}}) \quad f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)

 Ich rechne mich jedoch die ganze Zeit um Kopf und Kragen und bekomme nicht die richtige Lösung raus.

Findet jemand eine elegante Lösung? Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Du musst die äußere Ableitung bilden:\( \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \)

und diese mit der inneren Ableitung (also mit der Ableitung von \( x+\sqrt{1+x^2} \) ) multiplizieren.

Der Summand x ist beim Ableiten unproblematisch, während \(\sqrt{1+x^2} \) wiederum nach Kettenregel abgeleitet werden muss. Die Ableitung von  \(\sqrt{1+x^2} \) ist nach Kettenregel \( \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} \). Die gesamte innere Ableitung ist somit  (\(1+ \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)) und muss mit der o.g. äußeren Ableitung multipliziert werden.

Answer 2

Benutze https://www.ableitungsrechner.net/