Reihe in geschlossene Form bringen

Question

Hallo, ich soll folgende Reihe in geschlossene Form bringen:

\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}-\sum\limits_{j=0}^{i}{(\frac{1}{3})^j})} \)

Den Grenzwert konnte ich schon berechnen, der ist 1/4, allerdings ist das ja leider nicht gefragt. Wolfram Alpha spuckt folgende Formel aus: \( \frac{1}{4} \)·\( 3^{-n} \)(\( 3^{n} \)-1)

Die Formel scheint auch zu stimmen, jetzt ist allerdings meine Frage, wie man darauf kommt.

Über Antworten würde mich sehr freuen.

LG

Answer 1

Gehe schrittweise vor.

Was ergibt \(\sum\limits_{j=0}^{i}{(\frac{1}{3})^j}\) (unter Verwendung der entsprechenden Summenformel)?

Comments

Das ergibt: \( \frac{(\frac{1}{3})^{i+1}-1}{-\frac{2}{3}} \)

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Ja, man kann den Doppelbruch noch auflösen zu \(1,5(1-(\frac{1}{3})^{i+1})\)

Damit geht es jetzt um \(\sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}- 1,5(1-(\frac{1}{3})^{i+1})}\)

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Ja So habe ich es hier in meinen Notizen im nächsten Schritt auch gemacht. Aber wie soll es dann weiter gehen?

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Wenn man das jetzt ausklammert steht da:

\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+(\frac{1}{3})^{i+1})} \)

= \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{((\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Jetzt könnte man ja wenn man die +1 aus dem Exponenten rauszieht und eine indexverschiebung macht, die Formel \( \frac{1}{1-k} \) anwenden um an den Grenzwert zu kommen, aber genau das will ich ja nicht, sondern eine explizite Formel.

Wie kann ich weiter vorgehen?

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Du schreibst Summe von i=1 bis unendlich, bekommst sie  und bist unzufrieden.

Willst einen Term für die Summe von 1 bis n???

Dann müsstest du das schon so hinschreiben (und nicht Foren für nicht zufriedenstellende Antworten verantwortlich machen).

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Es tut mir wie gesagt leid, ich bin selbst von der Aufgabe verwirrt und mir ist erst spät bewusst geworden, dass ich am Ende einen Term bis n brauche; wie auch immer das geht (Das ist ja auch meine Frage).

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Na, das Problem (Summe bis n) hatten wir heute schon mal geklärt (nur dass die Summe da bis i ging...)

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Ich habe dich gerade nicht richtig verstanden. Ja die Summe bis i haben wir ja bereits gelöst, sodass ich zu diesem Zwischenergebnis gekommen bin:

\( \sum\limits_{i=0}^{\infty}{((\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Ich weiß nur eben nicht wie das jetzt weiter umformen kann, sodass ich die explizite Formel (aus der Fragestellung) erhalte.

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Lies doch einfach mal die bisherigen Beiträge, z,B, die Passage mit

"Ja, man kann den Doppelbruch noch auflösen zu..."

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Jetzt weiß ich worauf du hinaus willst... Ich habe beim Ausklammern einen Fehler gemacht. Es muss natürlich heißen:

\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{(\frac{3}{2}·(\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Da kann ich jetzt die 3/2 vor die Summe ziehen, sodass da steht:

\( \frac{3}{2} \)·\( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{((\frac{1}{3})^{i+1})} \)

Jetzt stehe ich leider wieder vor fast dem selben Problem.