erzeugende Funktion einer Folge aufstellen und dies dann in eine geschlossene Form bringen

Question

ich weiß wie man aus einer Folge eine erzeugende Funktion ableitet. Und zwar betrachtet man die geometrische Reihe und sieht die Koeffizienten als Folgengleider an.

Wenn ich nun folgende Folge habe:  a_n = n² * 2ⁿ     Dann kann man diese in folgende geometrische reihe übersetzen: ∑(n² * 2ⁿ) * xⁿ  (mit n≥0)

Nun frage ich mich aber wie ich eine solche Summe in eine geschlossene Form überführen kann.

Vielen Dank

Answer 1

die Reihe \( \sum n^2(2x)^n \) ist keine geometrische Reihe. Trotzdem konvergiert sie ja für bestimmte \(x\). Um den Grenzwert (und damit die geschlossene Form) auf dem Konvergenzradius zu berechnen solltest du dir eventuell zuerstmal die erste und zweite Ableitung der allgemeinen geometrischen Reihe \( \sum z^n\) anschauen.

Gruß