Linearfaktordarstellung in Polynomdarstellung umwandeln?

Question

Hallo liebe Mathegenies!

Ich habe ein Problem! Und zwar muss ich bis heute Abend eine Ausarbeitung zum Thema "Linearfaktordarstellung" abgeben, was meine Zensur verbessern soll. Nur leider bin ich ein totaler Mathe-Trottel! Folgende Aufgaben muss ich lösen:

1. Allgemeiner Aufbau der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in der Linearfaktordarstellung (zur Erinnerung: Wir kennen bisher die Scheitelpunktform und die allg. Form (Polynomdarstellung))
2. Zusammenhang zwischen Nullstellen und der Funktionsgleichung in Linearfaktordarst. -> Sonderfall: Doppelte Nullstelle (Berührung der x-Achse)
3. Umrechnung zwischen der Linearfaktordarstellung und der allg. Form (in beide Richtungen)
4. Berechnung der folgenden Beispiele:

• Wie lautet die Linearfaktordarstellung der Funnktionsgleichung einer Parabel, die die x-Achse in den Punkten N1 (-1/0) und N2 (2/0) scheidet, nach unten geöffnet und mit dem Faktor 3 in f(x)-Richtung gestreckt ist? Wie lautet die zugehörige allg. Form (Polynomdarstellung)?
• Wie lautet die Linearfaktordarstellung der Funktionsgleichung einer Parabel, die die x-Achse bei x=-1 berührt, nach oben geöffnet und mit dem Faktor 2 in f(x)-Richtung gestreckt ist? Wie lautet die zugehörige allg. Form (Polynomdarstellung)?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. :)

Answer 1

• Wie lautet die Linearfaktordarstellung der Funnktionsgleichung einer Parabel, die die x-Achse in den Punkten N1 (-1/0) und N2 (2/0) scheidet, nach unten geöffnet und mit dem Faktor 3 in f(x)-Richtung gestreckt ist? Wie lautet die zugehörige allg. Form (Polynomdarstellung)?
• Wie lautet die Linearfaktordarstellung der Funktionsgleichung einer Parabel, die die x-Achse bei x=-1 berührt, nach oben geöffnet und mit dem Faktor 2 in f(x)-Richtung gestreckt ist? Wie lautet die zugehörige allg. Form (Polynomdarstellung)?

a.)
Nullstellen
( x + 1 ) * ( x - 2 )
in y-Richtung um den Faktor 3 gestreckt

f ( x ) = 3 * ( x + 1 ) * ( x - 2 ) 

nach unten geöffnet

f ( x ) = -3 * ( x + 1 ) * ( x - 2 )

denn
- für N1 ist x = -1
f ( -1 ) = -3 * ( -1 + 1 ) * ( -1 - 2 ) = -3 * 0 * -3 = 0
- für N2 ist x = 2
f ( 2 ) = -3 * ( 2 + 1 ) * ( 2 - 2 ) = -3 * 3 * 0 = 0

Polynomdarstellung
f ( x ) = -3 * ( x + 1 ) * ( x - 2 )   | ausmultiplizieren
f ( x ) = -3 * ( x^2 - x - 2 )
f ( x ) = -3 * x^2 + x + 2

~plot~ (-3) * ( x + 1 ) * ( x - 2 ) ~plot~

b.)

Nullstelle ( x + 1)
berührt : doppelte Nullstelle
( x +1 ) * ( x + 1 )

in y-Richtung um den Faktor 2 gestreckt

f ( x ) = 2 * ( x + 1 ) * ( x - 2 )

Polynomdarstellung
f ( x ) = 2 * ( x + 1 ) * ( x + 1 )   | ausmultiplizieren
f ( x ) = 2 * ( x^2 - 2 * x + 1 )
f ( x ) = 2 * x^2 - 4 * x + 2

Das Vorzeichen von x^2 ist positiv deshalb ist die Parabel
nach oben geöffnet.

~plot~ 2 * x^2 - 4 * x + 2 ~plot~