Rekursionsgleichung - geschlossene Form finden

Question

Aufgabe: Finde die geschlossene Formel für a_n mit Rekursionsgleichung:

a_n = a_n-1+2 und a₁ = 1 für N⁺

Problem/Ansatz:

a1 = 1

a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3

a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5

a4 = a3 + 2 = 5 + 2 = 7

a5 = a4 + 2 = 7 + 2 = 9

a6 = a5 + 2 = 9 + 2 = 11

meine Frage:

1. habe ich die Aufgabe so richtig gelöst?

2. wie leite ich die geschlossene Formel her? a_n = (a₂+1) + (a₃+2) + (a₄+3) + ... = n+n_-1

3. gibt es geschlossene Formel die immer gelten? muss/kann man diese auswendig lernen?

Für Tipps wäre ich euch sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Das Aufschreiben der ersten Folgenglieder$$a_n=a_{n-1}+2\quad;\quad a_1=1$$war eine sehr gute Idee. Daraus kannst du eine Idee für die Summenfromel entwickeln:$$a_n=2n-1$$Diese musst du aber natürlich noch beweisen. Dazu eignet sich eine vollständige Induktion.

Verankerung bei \(n=1\):$$a_n=a_1=2\cdot1-1=1\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$a_{n+1}=a_n+2\stackrel{I.V.}{=}(2n-1)+2=2n+2-1=2(n+1)-1\quad\checkmark$$

Auswendig zu lernen brauchst du die Formel nicht. Das Prinzip ist wichtig. Zunächst musst du eine Vermutung entwickeln, wie die geschlossene Formel aussieht und ihre Gültigkeit anschließend immer auch noch nachweisen.