Hallo,
ich habe bei den Aufgaben a) bis c) leicht unterschiedliche Ergebnisse (vermutlich Rundung), aber ich schreibe meinen Lösungsweg trotzdem mal dazu, weil die d) recht ähnlich ist.
Sei \(t_B\) die Zeit, die beschleunigt wird. Es gilt dann: $$\underbrace{\frac{1}{2}\cdot 0,8\cdot g\cdot t_B^2}_{\text{Strecke, während dem Beschleunigen}}+\underbrace{v\cdot (10,5s-t_B)}_{\text{Strecke mit konstanter Geschwindigkeit}}=\underbrace{100m}_{\text{Gesamtstrecke}}.$$
\(v\) kann einfach ausgerechnet werden:
$$v=a\cdot t=0.8\cdot g\cdot t_B$$
Einsetzen und Umformen liefert:
$$\frac{1}{2}\cdot 0,8\cdot g\cdot t_B^2+0,8\cdot g\cdot t_B\cdot (10,5s-t_B)=100m$$
$$\Rightarrow t_B=\frac{-82,404+\sqrt{5220,819216}}{-7,848}$$
$$\Rightarrow t_B\approx1,293s; v_{\text{max}}\approx10,149\frac{m}{s}; s_B\approx 6,560m; s_k\approx93,440m$$
Versuchen wir nun eine allgemeine Formel für die Gesamtdauer abhängig von der Beschleunigung bei gleicher Maximalgeschwindigkeit zu finden:
$$\frac{1}{2}\cdot a\cdot t_B^2+a\cdot t_B\cdot (t_{\text{ges}}-t_B)=100m$$
Wir können \(t_B\) ausrechnen, schließlich gilt: \(v_{\text{max}}=a\cdot t_B\Rightarrow t_B=\frac{v_{\text{max}}}{a}\)
$$\Rightarrow\frac{1}{2}\cdot a\cdot(\frac{v_{\text{max}}}{a})^2+a\cdot \frac{v_{\text{max}}}{a}\cdot (t_{\text{ges}}-\frac{v_{\text{max}}}{a})=100m$$
Nach \(t_\text{ges}\) umstellen, liefert:
$$t_\text{ges}=\frac{v_\text{max}}{2\cdot a}+\frac{100m}{v_\text{max}}$$
Damit die Konkurrentin trotz den 0,2 Sekunden Verspätung gewinnt, muss gelten:
$$t_\text{gesK}+0,2s<t_\text{ges}$$
$$\Rightarrow\frac{v_\text{max}}{2\cdot a_K}+0,2s<\frac{v_\text{max}}{2\cdot 0,8\cdot g}$$
$$\Rightarrow a_K>\frac{20\cdot v_\text{max}}{\frac{25\cdot v_\text{max}}{g}-8}\approx11,363\frac{m}{s^2}$$
Gruß,
FDF
