Integration eines Terms, Regeln

Question

könnte mir bitte jemand erklären, welche Integrationsregeln bei diesem Term angewendet wurden? Mir ist bewusst, dass wir bei dem Delta am Schluss eine Variable + Konstante durch das Integrieren bekommen.

Aber welche Regeln wurden im vorderen Teil verwendet?

$$\begin{array}{l} \frac{d u_{1}}{d x_{1}}=\frac{C_{1}}{E_{r_{0}^{2} \pi}} e^{-\frac{2 x_{1}}{L}}+\alpha \Delta \theta_{1} \\ u_{1}\left(x_{1}\right)=\frac{c_{1}}{E_{1}^{2} \pi}\left(-\frac{L}{2}\right) e^{-\frac{2 x_{1}}{L}}+\alpha Δ \theta_{1} x_{1}+C_{2} \end{array}$$

Answer 1

Aloha :)

Der Term auf der rechten Seite hat 2 Konstanten, die wir der Einfachheit wegen umbenennen:$$\frac{du_1}{dx_1}=\underbrace{\frac{C_1}{E_1^2\pi}}_{=:A}\cdot e^{-\frac{2x_1}{L}}+\underbrace{\alpha\Delta\Theta_1}_{=:B}$$Die Integration der \(e\)-Funktion kann man mit Substituion vornehmen:$$\int e^{-\frac{2x_1}{L}}dx_1=\left\{\begin{array}{c}u:=-\frac{2}{L}x_1\\\frac{du}{dx_1}=-\frac{2}{L}\\dx_1=-\frac{L}{2}\,du\end{array}\right\}=\int e^{u}\,\underbrace{\left(-\frac{L}{2}du\right)}_{=dx_1}=-\frac{L}{2}e^u=-\frac{L}{2}e^{-2x_1/L}+\text{const}$$Die Integration der Konstante \(B\) ist klar, einfach nur ein \(x\) dranhängen. Insgesamt also:$$u_1=A\cdot\left(-\frac{L}{2}e^{-2x_1/L}\right)+Bx+\text{const}$$Jetzt nur noch die Konstanten \(A\) und \(B\) wieder eintragen.

Answer 2

Der erste Summand ist ja von der Art A*e^(-Bx) das gibt beim Integrieren

          A/-B * e (-Bx) und das -B ist ja bei dir -2/L , und weil dadurch dividiert

wird, entsteht der Faktor L/-2 = - L / 2

Der 2. Summand hängt gar nicht von x ab, ist also eine Konstante A

und wird beim Integrieren zu A*x.