Berechnen Sie die Integrale, nachdem Sie diese vereinfacht haben. Nach welchen Regeln werden Integrale vereinfacht?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Integrale, nachdem Sie diese vereinfacht haben:

a) \( \int \limits_{-1}^{2} (x^{2}+4 x+2)\,dx+\int \limits_{2}^{3}(x^{2}+4 x+2)\,dx \)

b) \( \int \limits_{-1}^{1} (x^{2}-2 x)\,dx-\int \limits_{3}^{2} (x^{2}-2 x)\,dx+\int \limits_{1}^{2}( x^{2}-2 x)\,dx \)

c) \( \int \limits_{-3}^{2} (x^{2}+8 x) \,dx-\int \limits_{-3}^{2} (4 x^{2}+8 x)\,dx \)

Problem/Ansatz:

Wie und nach welchen Regeln werden Integrale vereinfacht?

Comments

Es geht wohl um 3 "Regeln":

$$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x) dx=\int_a^cf(x)dx$$

$$\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x) dx$$

$$\int_a^b f(x)dx+\int_a^bg(x)dx=\int_a^b(f(x)+g(x))dx$$

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Bei den ersten beiden Teilaufgaben sind alle Integranden gleich. Es geht hier darum, die Integrationsgrenzen umdzudrehen, also die obere mit der unteren Grenze zu vertauschen. Das macht man einfach, indem man das Vorzeichen des Integrals wechselt. Dann kann man die Integrale zusammenführen:

$$I_a=\int\limits_{-1}^2(x^2+4x+2)\,dx+\int\limits_{2}^3(x^2+4x+2)\,dx=\int\limits_{-1}^3(x^2+4x+2)\,dx$$$$\phantom{I_a}=\left[\frac{x^3}{3}+2x^2+2x\right]_{-1}^3=\frac{100}{3}$$

$$I_b=\int\limits_{-1}^1(x^2-2x)\,dx-\int\limits_{3}^2(x^2-2x)\,dx+\int\limits_{1}^2(x^2-2x)\,dx$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_{-1}^1(x^2-2x)\,dx+\int\limits_{2}^3(x^2-2x)\,dx+\int\limits_{1}^2(x^2-2x)\,dx$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_{-1}^1(x^2-2x)\,dx+\int\limits_{1}^2(x^2-2x)\,dx+\int\limits_{2}^3(x^2-2x)\,dx=\int\limits_{-1}^3(x^2-2x)\,dx$$$$\phantom{I_b}=\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^3=\frac43$$

Das letzte Integral ist etwas einfacher, hier sind die Integrationsgrenzen gleich. Da können wir die Integranden addieren:

$$I_c=\int\limits_{-3}^2(x^2+8x)\,dx-\int\limits_{-3}^2(4x^2+8x)\,dx=\int\limits_{-3}^2\left(\;(x^2+8x)-(4x^2+8x)\;\right)\,dx$$$$\phantom{I_c}=\int\limits_{-3}^2(-3x^2)\,dx=\left[-x^3\right]_{-3}^2=-35$$

Comments

Wie erhältst Du die obere Grenze 5 bei a) und b)?

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Danke fürs Aufpassen... Ich korrigiere das sofort ;)