Aloha :)
Du musst hier die linearen Abhängigkeiten aus den 4 Vektoren herausrechnen. Das machst du am einfachsten, indem du sie als Spalten in eine Matrix schreibst und diese dann durch elementare Spalten-Umformungen auf Dreieckform bzw. soweit möglich auf Diagonalgestalt bringst. Alle Spalten, die dabei nicht zu Null-Spalten werden, bilden eine mögliche Basis.
$$\begin{array}{rrrr}-S_3 & & -2S_2 &\\\hline5 & 2 & 4 & a\\4 & 2 & 3 & 1\\3 & -2 & -2 & 1\\2 & 1 & 2 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr}+S_3 & -2S_1 & & +S_3\\\hline1 & 2 & 0 & a\\1 & 2 & -1 & 1\\5 & -2 & 2 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} & & & -S_2\\\hline1 & 0 & 0 & a\\0 & 0 & -1 & 0\\7 & -12 & 2 & 3\\0 & 1 & 0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} &\to S_3 & \to S_2 & \\\hline1 & 0 & 0 & a\\0 & 0 & -1 & 0\\7 & -12 & 2 & 15\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4(a) \\\hline1 & 0 & 0 & a\\0 & -1 & 0 & 0\\7 & 2 & -12 & 15\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$
Für den Fall \(a=\frac{15}{7}\) bleiben nur die Basisvektoren \(\vec b_1\), \(\vec b_2\) und \(\vec b_3\) übrig, denn dann ist der Vektor \(\vec b_4(a)\) kollinear zu \(\vec b_1\), konkret gilt dann: \(\frac{15}{7}\vec b_1=\vec b_4(\frac{15}{7})\). Für diesen Fall spannen die 4 Vektoren \(\vec v_i\) einen 3-dimensionalen Vektorraum auf.
Für den Fall \(a\ne\frac{15}{7}\) bleiben vier Basisvektoren übrig, die 4 Vektoren \(v_i\) spannen dann einen 4-dimensionalen Vektorraum auf.
