Ich hatte als Aufgabe eine Funktion gegeben, die die Wachstumsgeschwindigkeit (Wg) in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.
f(t) = Wg und t = Zeit
Nun wurde gefragt was die durchschnittliche Wg in den ersten 5 Jahren ist.
Die Lösung besagt, dass man es mittels der Formel lösen kann:
:\( \frac{1}{b-a} \)* \( \int\limits_{a}^{b} \) f(t)dt
Ich frage mich an dieser Stelle, wieso es ich die mit der Fläche der Kurve die durchschnittliche Wg berechnen kann. Ich weiß, dass F(t) (Also ja die Aufgeleitete Fkt) in dem Falle, dass wir von dem Wachstum einer Pflanze ausgehen, die Höhe dieser zu den Zeitpunkten t darstellt. Sozusagen ist die Funktion der Wg, die in der Aufgabe gegeben ist, normalerweise die Ableitung der Funktion.
In dem Falle der Aufgabe wär es ja so:
1. Ebene - Höhe F(t)
2. Ebene - Wachstumsgeschwindigkeit f(t) (gegeben)
3. Ebene - Beschleunigung f´(t)
Das heißt doch, wenn ich aufleite kann ich mittel der Sekantensteigung wieder "normal" die Durchschnittsgeschwindigkeit ausrechnen?
Aber mich würde es auch interessieren, wieso ich das mit dem Integral ebenso ausrechnen kann, weil das Integral ja, eigentlich die Fläche untere der Kurve darstellt und das würde doch im Falle das f(t) die Wg ist die Strecke oder die Höhe ergeben oder nicht? Da ja v = \( \frac{s}{t} \) -> t*v =s.
Ist es hier jetzt so, dass dadurch, dass in der Formel ( \( \frac{1}{b-a} \)* \( \int\limits_{a}^{b} \) f(t)dt ) das \( \frac{1}{b-a} \) steht, dass sich das t aus t*v = s (hier meiner aktuellen Ansicht nach was ich aus dem Integral ohne den Bruch davor erhalten würde) raus kürzt, und nur v übrig bleibt, weshalb kein t*v mehr hat und man nur noch mit v da steht?
Weil eig. ist ja \( \int\limits_{a}^{b} \) f(t)dt ,wenn wir von der Fkt., die die Wg/Geschwindigkeit darstellt ausgehen, die Länge/Höhe oder nicht?
Ich danke allen, die es bis hierher geschafft haben :D .Ich hoffe, man kann mein Anliegen verstehen.
In kurz: ich würde gern wissen warum :\( \frac{1}{b-a} \)* \( \int\limits_{a}^{b} \) f(t)dt funktioniert. Natürlich wär ich auch froh, wenn man auf die zuvor gestellten Fragen/Unsicherheiten mir eine Antwort geben könnte :).
Danke schon einmal im voraus und für eure Mühen.
