Es sei M die Menge aller Abbildungen von R nach R

Question

Aufgabe:

Es sei M die Menge aller Abbildungen von R nach R. Wir definieren die folgende Relation auf M : Es sei
f∼g ⇐⇒ für jedes x ∈ R existiert ein c ∈ R\{0}  mit g(x) = c·f(x).

Zeigen Sie:
(a) ∼ ist eine Äquivalenzrelation.
(b) Die Relation ∼ besitzt unendlich viele Äquivalenzklassen.
(c) Die Abbildung φ : M/∼ → M/∼, f → f2 ist wohldefiniert und bijektiv.

Comments

1. Bist du dir sicher, dass in der Definition "für jedes x existiert ein c" steht und nicht "es existiert ein c, sodass für jedes x"?

2. Was ist f2?

3. Hast du schon etwas selbst versucht?

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Wenn f2 eigentlich f^2 heißen soll (was ich vermute), folgt daraus, dass die Antwort auf deine erste Frage "ja" heißen muss.

Answer 1

für jedes x ∈ R existiert ein c ∈ R\{0}  mit g(x) = c·f(x).

Das ist genau dann der Fall, wenn f und g die selben Nullstellen haben

(a) ∼ ist eine Äquivalenzrelation.

Prüfe die drei Axiome der Äquivalenzrelation.

(b) Die Relation ∼ besitzt unendlich viele Äquivalenzklassen.

Für jedes r ∈ ℝ hat x ↦ x-r nur bei r eine Nullstelle.

(c) Die Abbildung φ : M/∼ → M/∼, f → f2 ist wohldefiniert und bijektiv.

Wohldefiniertheit: Zeige dass wenn die Funktionen f und g die selben Nullstellen haben, auch die Funktionen f2 und g2 die selben Nullstellen haben.

Bijektivität: Zeige Injektivität und Surjektivität.

Comments

Was du als "Wohldefiniertheit" bezeichnest, ist Injektivität.

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Ich hätte dazu schreiben sollen, dass es sich bei f, g, f2 und g2 nicht um Restklassen handelt, sondern um Representanten.

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Nein, Injektivität wäre: Haben \(f^2,g^2\) die selben Nullstellen, dann haben \(f,g\) dieselben Nullstellen.

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Nein

Also JA . Lies die Änderungshistorie .