Ermittle so, dass der Kreis die Gerade berührt.

Question

Ermittle so, dass der Kreis die Gerade berührt.

3 Antworten

Beste Antwort

Hallo,

Muss ich hier die Geradengleichung auf y umformen und in die Kreisgleichung einsetzen ?

nicht unbedingt. Wenn Du weißt, was die Hessesche Normalform einer Geraden ist, so gibt es für Dich noch eine andere Lösungsmöglichkeit. Die Geradegleichung kannst Du umformen $$g: \space x+ y= c \\ \implies \frac 12 \sqrt 2 \left( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \vec x -c \right) = 0$$Der Faktor $\sqrt 2/2$ sorgt dafür, dass der Normalenvektor der Geraden die Länge $1$ hat. Wenn man nun für $\vec x$ irgendeinen Punkt einsetzt, so ergibt sich rechts der Abstand von der Geraden. Aus der Kreisgleichung folgt unmittelbar $$(x + 4)^2 + (y − 6)^2 = 2 \implies \vec m = \begin{pmatrix} -4\\6 \end{pmatrix}, \space r = \sqrt 2$$der Mittelpunkt $\vec m$ und Radius $r$ des Kreises.

Damit die Gerade den Kreis berührt, muss der Abstand der Geraden $g$ von $\vec m$ genau gleich dem Radius $r$ sein. Dann kann man schreiben$$\begin{aligned} \implies \frac 12 \sqrt 2 \left( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \vec m -c \right) &= \pm r \\ \frac 12 \sqrt 2 \left( 2 - c \right) &= \pm \sqrt 2 \\ 2 - c &= \pm 2 \\ \implies c_1 &= 0, \space c_2 = 4 \end{aligned}$$

Beantwortet 4 Mai 2020 von Werner-Salomon

Löse die Geradengleichung nach einer der beiden Variablen (hier $y$) auf und setze sie in die Kreisgleichung ein und löse die Gleichung nach der anderen Variable (hier $x$) auf$$\begin{aligned} y &= c - x\\ (x+4)^2 + (c-x-6)^2 &= 2 \\ x^2 + 8x + 16 + (c-6)^2 - 2x(c-6) + x^2 &= 2 \\ 2x^2 + 2x(4 - c +6 ) + 14 + (c-6)^2&= 0 \\ x^2 - x(c-10) + 7 + \frac 12 (c-6)^2&= 0 \\ \implies x_{1,2} = \frac 12(c-10) \pm \underbrace{\sqrt{ \frac 14 (c-10)^2 - 7 - \frac 12 (c-6)^2}}_{D=0} \end{aligned}$$jetzt haben wir die beiden Werte $x_{1,2}$ berechnet, bei denen die Gerade den Kreis schneidet. Wenn die Gerade den Kreis aber nur berühren soll, so müssen diese beiden Werte $x_{1,2}$ zu einem zusammen fallen. Und dies geschieht genau dann, wenn der Wert $D$ unter der Wurzel (die Diskriminante) $=0$ ist.

Also:$$\begin{aligned} \frac 14 (c-10)^2 - 7 - \frac 12 (c-6)^2&= 0 \\ (c-10)^2 - 28 - 2(c-6)^2&= 0 \\ c^2 - 20c + 100 - 28 - 2c^2 + 24c - 72 &= 0 \\ - c^2 + 4c &= 0 \\ c(4-c) &= 0 \\ \implies c_1 = 0, \space c_2 = 4\end{aligned}$$... Du siehst, der Aufwand ist deutlich größer. Darüber hinaus kann man sich öfter verrechnen ;-)

Kommentiert 4 Mai 2020 von Werner-Salomon

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

mathef · Answer 1 · 2020-05-04T10:17:35+0000

Muss ich hier die Geradengleichung auf y umformen und in die Kreisgleichung einsetzen ???

Gute Idee und dann in der entstehenden quadratischen Gleichung

den Parameter so wählen, dass es nur genau eine Lösung gibt.

(Diskriminante = 0 ) .

Moliets · Answer 2 · 2024-05-17T12:27:17+0000

$(x + 4)^2 + ( y− 6)^2 = 2 $ $y=c-x$ mit $m=\red{-1}$

$k(x,y)=(x + 4)^2 + ( y− 6)^2 - 2 $

$k_x(x,y)=2(x + 4) $

$k_y(x,y)=2( y− 6) $

$k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x+4}{y− 6}$

$\red{-1}=-\frac{x+4}{y− 6}$

$y=x+10$ Diese Gerade schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten:

$(x + 4)^2 + ( x+10− 6)^2 = 2$

$(x + 4)^2 + ( x+4)^2 = 2$

$2\cdot(x + 4)^2 = 2$

$(x + 4)^2 = 1 |±\sqrt{~~}$

$1.)$

$x + 4 = 1 $

$x_1 = -3 $ $y(-3)=-3+10=7$

$2.)$

$x + 4 = -1 $

$x _2= -5 $ $y(-5)=-5+10=5$

Tangentengleichungen:

$1.)$:

$ \frac{y-7}{x+3}=\red{-1} $

$ y=4-x $ $c_1=4$

$2.)$:

$ \frac{y-5}{x+5}=\red{-1} $

$ y=-x $ $c_2=0$

Ermittle so, dass der Kreis die Gerade berührt.

3 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen: