Aloha :)
Die Krümmung \(\kappa\) einer Raumkurve \(\vec r(t)\) und ihr Krümmungsradius \(\rho\) sind:$$\kappa=\frac{\left|\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right|}{\left|\dot{\vec r}\right|^3}\quad;\quad\rho=\frac{1}{\kappa}$$Die Krümmung für eine Funktion \(f(x)\) erhält man daraus mit \(\vec r=(x|f(x)|0)\):$$\kappa=\frac{f''(x)}{\sqrt{1+[f'(x)]^2}^{\;3}}$$Der Nenner ist \(\ge1\), daher ist die Krümmung nicht gleich \(f''(x)\). Aber \(\kappa\) hat dasselbe Vorzeichen wie \(f''(x)\). Daher erlaubt das Vorzeichen der zweiten Ableitung eine qualitative Aussage über das Krümmungsverhalten:$$f''(x)>0\quad\Leftrightarrow\quad f(x)\text{ ist linksgekrümmt.}$$$$f''(x)<0\quad\Leftrightarrow\quad f(x)\text{ ist rechtsgekrümmt.}$$
Der Funktion sieht man die Krümmung leicht an. Wenn du den Graphen mit einem Fahrrad von links nach rechts (x-Achse) abfahren würdest, ist die Funktion linksgekrümmt, wenn der Lenker nach links zeigt und rechtsgekrümmt, wenn der Lenker nach rechts zeigt.
Wenn du quantitativ die Stärke der Krümmung oder den Krümmungsradius bestimmen möchtest, reicht die zweite Ableitung nicht aus, dafür musst du in den sauren Apfel beißen und \(\kappa\) tatsächlich berechnen.
