Situation mit f, f' und f'' beschreiben

Question

Bitte um Hilfe:)

1. Die Funktion f beschreibt den Wasserstand eines Sees (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit (in Tagen). Beschreibe mit f, f' und f'' die Situation vollständig.

a) Am Tag 140 beträgt der Wasserstand 3,30m.

b) Der größte Wasseranstieg ist am Tag 140.

c) Der höchste Wasserstand ist am 252. Tag. Er beträgt 5,05m.

d) Zwischen dem 140. und 252. Tag ist der Wasserstand um 20 cm gestiegen.

Problem/Ansatz:

a) Hier habe ich f(140)=3,30

b) Hier denke ich kommt etwas mit f', da es sich um den Anstieg handelt, jedoch komme ich dann nicht weiter.

c) Hier würde ich f(252)=5,05 sagen, bin mir jedoch nicht sicher, weil es sich um den höchsten Wasserstand handelt.

d) f(252)-f(140)=20 ist meine Vermutung hier.

Liebe Grüße und vielen Dank im voraus!

Answer 1

a) P1(140/3,3)  ist ein Punkt auf der Funktion f(t)=...   Funktionswert f(140)=3,30m

b) Steigung an der Stelle x ist f´(x)=m=...  mit P2(140/f(140)) → f´´(x)=0=... Wendepunkt höchste Zuwachsrate,höchster Wasseranstieg

c) höchster Wasserstand f(252)=5,05m  ist ein Maximum  Bedingung f´(x)=0 und f´´(x)<0

d) durchschnittlicher Wasseranstieg

Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1)   mit x2>x1

Ist die Steigung der Sekante m=(y2-y1)/(x2-x1)

eine Sekante ist eine Gerade durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)

m=20cm/(252-140)=0,178 cm/Tag

Comments

Für ein Maximum muss nicht gelten  f´´(x) < 0

Z.B. f(x) = 16 - x^4

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Stimmt ! Ist ein Sonderfall

f(x)=-1*x^4+16  Substitution z=x²

f(z)=-1*z²+16 ist eine Parbel der Form f(x)=a*x²+C

a<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden

allgenemien Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao

Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys

Scheitelpunkt Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao

a1=0 und ao=16

xs=-(0)/(2*(-1))=0

ys=-(0)²/(4*(-1))+16=16