Berechnungen am Dreieck, welches Eckpunkte auf einer Funktion hat

Question

ich habe heute mit meinem Sohn Mathematik für eine Schulaufgabe am Donnerstag geübt (10. Klasse Realschule). Dabei sind wir kläglich an folgender Aufgabe gescheitert:

Die Punkte C_n(x/x³) der Dreiecke ABC_n bzw. AC_nB liegen auf dem Graphen der Funktion f mit y=x³. Es gilt: A(-3/0); B(3/0)

a) Zeichne den Graphen der Funktion f in ein Koordinatensystem. (so weit kein Problem)

b) Unter den Dreiecken ABC_n gibt es rechtwinklige Dreiecke ABC₁ und AC₂B mit der Hypotenuse [AB]. Trage diese in die Zeichnung ein. (Konnten wir mit Hilfe des Geodreiecks lösen)

c) Zeige: Für die Koordinaten der Punkte C₁ und C₂ aus Aufgabe b) gilt der Zusammenhang x⁶ + x² = 9. Berechne daraus die Koordinaten von C₁ und C₂ mit dem GTR.

Und hier kommen wir einfach nicht weiter. Vielleicht stehen wir ja am Schlauch, aber wir haben beide keine Ahnung, wie wir an die Aufgabe rangehen sollen.

Vielleicht kann uns jemand weiterhelfen???

Birgit

Answer 1

Hallo Birgit. Denkt mal an den Satz des Thales. Damit ein Dreieck rechtwinklig ist muss der rechte Winkel auf dem Thaleskreis liegen.

Der Thaleskreis hat die Gleichung

x^2 + y^2 = 9
y = ± √(9 - x^2)

Nun kann ich die Funktionen gleichsetzen und lösen

√(9 - x^2) = x^3
9 - x^2 = x^6
x^6 + x^2 = 9
z^3 + z = 9
z = 1.920175121

x = -1.385703836 ∨ x = 1.385703836

(1.385703836)^3 = 2.660794031

Skizze: