Differentialgleichungssystem analytisch lösen

Question

ich habe ein einfaches strömungsmechanisches Problem:

Gegeben sind die Geschwindigkeitsvektoren in der Feldbeschreibung.

u_y = a*x3 und  u_z = a*x2

Auf deren Basis möchte ich die Bahnlinien ausrechnen.

Die Bestimmungsgleichungen lauten nun wie folgt:

dx₂ / dt = u_y = a*x₃  und

dx₃ / dt = u_z =  a*x₂

Die seperate, einzelne Lösung der 2 DGLen durch Trennung der Variablen klappt ja nicht, da die funktionalen Zusammenhänge x3(x2) und x2(x3) nicht bekannt sind. Randbedingungen sind natürlich bekannt.

Wie lautet der Ansatz für so ein gekoppeltes Problem?

Comments

Hallo

 da steht ein Gemisch von x2,y, und x3,z was ist x2 anderes als y?

und uy=dy /dt? ist x2 und y dasselbe? das nehmen ich mal an.

dann stünde da dy/dt=a*z damit d^2y/dt^2=a*dz/dt=a*y

also y''=a*y mit y=C1*e^√a*t+C2*e^-√a*t

oder du musst das genauer formulieren .

Gruß lul

Answer 1

Es gilr einerseits \( u(y,z) = ayz + f_1(z) \) und andererseits \( u(y,z) = a y z + f_2(y) \)

Wenn z.B. \( u(0,z) = 0 \) gelten soll, folgt \( f_1(z) = 0 \) und sollte auch noch \( u(y,0) = 0 \) folgt \( f_2(z) =0 \)

Also ist die Lösung in diesem Fall \( u(y,z) = ayz \)

Answer 2

Aloha :)

Das gekoppelte System lautet in Matrixschreibweise:$$\binom{\dot x_2}{\dot x_3}=\begin{pmatrix}0 & a\\a & 0\end{pmatrix}\binom{x_2}{x_3}$$Die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix sind:$$\lambda_1=-a\quad;\quad\lambda_2=a\quad;\quad\vec v_1=\binom{-1}{1}\quad;\quad\vec v_2=\binom{1}{1}$$Damit lautet die Lösung des Systems:$$\binom{x_2}{x_3}=c_1\,e^{-at}\binom{-1}{1}+c_2\,e^{at}\binom{1}{1}\quad;\quad c_1,c_2=\text{const}$$

Der Trick, weshalb das die Lösung ist, liegt darin, dass die Wirkung der EW und EV:$$A\cdot(c_ie^{\lambda_i\,t}\vec v_i)=\lambda_ic_ie^{\lambda_i\,t}\vec v_i$$dieselbe ist wie die Wirkung der Ableitung:$$\frac{d}{dt}\left((c_ie^{\lambda_i\,t}\vec v_i)\right)=\lambda_ic_ie^{\lambda_i\,t}\vec v_i$$Die allgemeine Lösung ist wie üblich eine Linearkombination aller möglichen Lösungen.

Comments

Hallo :)

Danke für die Antwort, alles nachvollziehbar!

Eine Frage habe ich noch: Es gibt ja auch die Möglichkeit, das "entkoppelte" System zu lösen, also jeden Freiheitsgrad für sich zu betrachten. Durch Multiplikation der Modalmatrix mit der entkoppelten Lösung ergibt sich dann auch wieder die homogene Lösung.

Die entkoppelten Gleichungen sind ja von der Form

d/dt x_j = λ_{j *} x_j

Damit ergibt sich x_j = exp(λ_j * t)

Angenommen ich habe eine beliebige, zeitunabhängige A-Matrix. Bei dieser Aufgabe bekomme ich ja 2 Eigenwerte. Aber woher weiß ich, welchen Eigenwert λj ich in der entkoppelten Gleichung

d/dt xj = λj * xj

verwende. Ich könnte ja λ1 oder λ2 verwenden, um z. B. x1. Du hast in deiner Antwort ja λ1 = a und λ2 = -a definiert. Aber ich könnte ja genau sagen: λ1 = -a und λ2 = a.

Oder ist dies egal, weil dann entsprechend auch die Spalten der Modalmatrix vertauscht sind, wenn ich die Eigenwerte vertausche?

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Eigentlich spielt die Vertauschung keine Rolle, mit beiden Eigenwerten bekommst du eine Lösung. Um aber wirklich die allgemeine Lösung zu erhalten, musst du alle möglichen Lösungen linear miteinander kombinieren. Mit anderen Worten, du musst beide Eigenwerte bei der Lösung berücksichtigen. Das sieht man ja auch gut bei meinem Posting. Die Lösung für \(x_2\) enthält beide Eigenwerte, ebenso die Lösung für \(x_3\).

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Wunderbar,

Obiges Lösungsverfahren funktioniert aber nur bei einem linearen DGL-System der Form

d/dt x = A * x   (natürlich als Vektoren bzw. Matrizen)

Sobald ich z.B. für die Geschwindigkeitskomponente ein u_y = a*x₃ + (x₃)^2 hätte, würde man das nicht mehr analytisch lösen können, oder? u_z = a*x₂ gelte weiterhin.

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Ja richtig, sobald nicht-lineare Terme hinzu kommen, wird es mit den methoden der linearen Algebra schwierig. Bei quadratischen Termen kann man manchmal noch tricksen, \(\vec x^T\cdot A\cdot\vec x\), aber dann muss man schon eine geeignete Aufgabenstellung haben.

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Letzte Frage jetzt :)

Die Eigenvektoren kann ich ja beliebig skalieren, also z. B. statt (-1,1) ist ja auch (-3,3) korrekt. Die Lösung x ist ja dann eine andere als bei (-1,1).

Wird diese beliebige Skalierung der Eigenvektoren dann bei der Bestimmung der Konstanten wieder eliminiert?

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Du baust die allgemeine Lösung aus den Eigenvektoren \(\lambda_i\) und den Eingenvektoren \(\vec v_i\) zusammen, indem du eine Linearkombination bildest:

$$\vec x=a_1\cdot e^{\lambda_1t}\vec v_1+a_2\cdot e^{\lambda_2t}\vec v_2+\dots$$Dabei wird jeder Term mit einer Konstanten \(a_i\) multipliziert, die aus den Anfangsbedingungen zu berechnen ist. Wenn du also einen Eigenvektor \(\vec v_i\) z.B. verdoppelst, wird der entsprechende Koeffizient \(a_i\) am Ende nur halb so groß sein. Mit anderen Worden, die Skalierung der Eigenvektoren \(\vec v_i\) wird bei der Bestimmung der Koeffizienten \(a_i\) kompensiert.