Typische Physikeraufgabe; du machst immer den e-Ansatz
y1;2 ( t ) = A1;2 exp ( k t ) ( 1 )
A1 k = - 5 A1 - A2 ( 2a )
A1 ( - 5 - k ) - A2 = 0 ( 3a )
A2 k = 2 A1 - 3 A2 ( 2b )
2 A1 + A2 ( - 3 - k ) = 0 ( 3b )
die Nummerierung ( ab ) habe ich hier konsequent beibehalten, damit du weißt, welche gleichungen zusammen gehören. Und jetzt schreib mal die ===> Jacobimatrix ( rechte Seite ! ) des DGLS an:
J = - 5 - 1 ( 4 )
2 - 3
weil ( 3ab ) besagen doch michts anderes, als dass es das EIGENWERTPROBLEM DER JACOBIMATRIX zu lösen gilt. Ich sage das bewusst, weil die meisten Textbücher präsentieren diesen Stoff ungeheuer verwirrend; da bist du dann allein gelassen mit der Aufgabe, dir die ganzen Terme zusammen zu suchen.
Und wie man die Säkulardeterminante einer Matrix aufstellt - das wird dann auch viel zu kompliziert erklärt
( Die setzen direkt die Determinante von ( 3ab ) gleich Null und riskieren, dass damit k direkt in die Determinante verwurstelt wird. )
Nein ich ziehe den Rückwärtsgang vor; ich mache den quadratischen Ansatz
p_J ( x ) = x ² - p x + q ( 5a )
Und? Was ist p und q? Vieta das geschmähte Stiefkind
p = k1 + k2 = Sp ( J ) = ( - 8 ) ( 5b )
q = k1 k2 = det ( J ) = 17 ( 5c )
p_J ( x ) = x ² + 8 x + 17 ( 5d )
Das mit der asymptotischen Stabilität ist doch wirklich kein Akt; wirf nochmal einen Blick in deine Aufzeichnungen oder in das schlaue Buch ( Im Zweifelsfall guckst du in Wiki unter Tovarisch ===> Ljapunov; da steht es dann ganz genau drin. )
In ( 5c ) hast du eine positive Determinante; damit ergeben sich drei Möglichkeiten:
1) zwei positive ( reelle ) Eigenwerte
2) zwei negative Eigenwerte ( Minus Mal Minus gibt schließlich auch Plus )
3) Zwei komplex ( konjugierte ) Eigenwerte ( Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist nie negativ ! )
Jetzt hängt alles daran, ob der Realteil beider Eigenwerte negativ ist; wegen der negativen Spur istr das aber der Fall. Wären beide Eigenwerte reell, würde dir das in ( 5b ) auch unmittelbar einleuchten. Aber ich schreib jetzt mal den komplexen Vieta an; denn hier kriegst du tatsächloch komplexe Eigenwerte. Und Vieta ist allemal schneller wie die Mitternachtsformel
p = 2 Re ( k0 ) = ( - 8 ) ===> Re ( k0 ) = ( - 4 ) ( 6a )
q = | k0 | ² = 17 ===> | k0 | = sqr ( 17 ) ( 6b )
Deine Wurzeln erweisen sich als ganze ===> Gaußsche Zahlen; denn nach Pythia und Goras
k1;2 = - 4 +/- i ( 6c )
Für den Fall eines rein reellen ( negativen ) Eigenwertes hast du den ===> aperiodischen Kriechfall; und komplexe Eigenwerte bedeuten immer eine gedämpfte Schwingung, wobei der Imagteil die Frequenz der Schwingung angibt.
Literatur: ===> Herbert Goldstein; Klassische Mechanik ist sehr gut. Dann das selbe Tema bei dem Ungarn ===> Agoston Budo
