Differenzialgleichungssystem asymptotisch stabil

Question

Untersuchen Sie, ob das Differenzialgleichungssystem asymptotisch stabil ist

\( \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left(\begin{array}{cc}2 & 9 \\ -1 & 2\end{array}\right) \boldsymbol{x}(t) \)

Wie muss ich hier vorgehen? Ein Lösungsweg wäre sehr hilfreich.

mfg

Answer 1

Hallo,,

1) Setze die rechte Seite =0

a) 2x₁+9x₂=0

b) -x₁+2x₂=0

--->P(0/0)

2) Bilde die Jakobi Matrix:

J(x₁,x₂)= \( \begin{pmatrix} 2 & 9 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \)

3) Determinate bilden

----> | (2-λ)   9       |                           = 0

         | -1       (2-λ)  |

= (2-λ)^2 +9=0

4-4λ+ λ^2 +9=0

λ^2 -4λ +13=0

λ_1.2=2± 3i --->  asymptotisch nicht stabil ->weil nicht in der linken Halbebene (positiver Realteil)

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~wegert/Lehre/KtrTh/Section2_3.pdf

Comments

vielen Dank!

Answer 2

Ein Dgl.-System ist asyptotisch stabl wenn alle Eigenwerte von \( A =\left(\begin{array}{cc}2 & 9 \\ -1 & 2\end{array}\right)  \) einen negativen Realteil haben, s.hier http://numerik.mathematik.uni-bayreuth.de/~lgruene/lehre_frankfurt/linstab0102/skript.pdf und http://page.math.tu-berlin.de/~karow/lehre/folien_dgl/vorlesung7.pdf