Bestimmen Sie das Stabilitätsverhalten des Gleichgewichtspunkts (0,0) , welcher der Punkte ist asymptosch stabil?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie das Stabilitätsverhalten des Gleichgewichtspunkts \( (0,0) \), welcher der Punkte ist asymptosch stabil?
i) \( \dot{\vec{x}}=\left(\begin{array}{cc}-8 & 3 \\ -18 & 7\end{array}\right) \vec{x} \)
ii) \( \dot{\vec{x}}=\left(\begin{array}{cc}6 & -1 \\ 6 & 1\end{array}\right) \vec{x} \)
iii) \( \dot{\vec{x}}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \vec{x} \)
iv) \( \dot{\vec{x}}=\left(\begin{array}{ll}-2 & 3 \\ -3 & 2\end{array}\right) \vec{x}, \quad \) v) \( \dot{\vec{x}}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 1 & -3\end{array}\right) \vec{x} \).

Problem/Ansatz:

Howdy, ich habe eine frage bezüglich der Aufgabenstellung:

Wie genau untersucht man das Stabilitätsverhalten im Punkt (0,0)?

Gruß Entlein

Comments

Was sagt denn Eure Vorlesung zu dem Thema? Habt Ihr nur Definitionen? Hsbt Ihr Kriterien?

Answer 1

Hallo,

Setze den Punkt(0,0) in die Jacobi Matrix ein.

Berechnung der Eigenwerte:

Aufgabe i)

1) Jacobi Matrix:

J (x1,x2)= \( \begin{pmatrix} -8 & 3 \\ -18 & 7 \end{pmatrix} \)

(zeilenweise Ableitungen zuerst nach x1 und dann nach x2)

0 kann hier nicht eingesetzt werden, da weder x1 noch x2 nach der Ableitung hier vorhanden sind

2) Berechnung der Eigenwerte:

$$\begin{vmatrix}  -8-λ & 3 &  \\ -18 &  7-λ & \\ \end{vmatrix} =0$$

(-8-λ) (7-λ) - (-18*3)=0

-56 +8λ -7λ +λ^2 +54=0

λ^2+λ -2=0

λ_1,2= -1/2± √(1/4 +2)

λ_1,2=-1/2± 3/2

λ₁= 1

λ₂= -2

----> instabil

Comments

Wenn der Punkt (0,0) eingesetzt ist hat die Determinante einen Wert und kann nicht mehr "gesetzt" werden

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Was ich nun raus habe ist folgendes:

i) eigenwerte: -2 und 1 = instabil

ii) Eigenwete: 3,4 = instabil

iii) Eigenwerte: 0 = weder stabil noch instabil / indifferenter Gleichgewichtspunkt

iv)  Eigenwerte: i*Wurzel(5) und -i*Wurzel(5) = oszilierend, weil wir rein imaginäre GGP haben

v) Eigenwerte: beide Wurzel(3)+1 = entweder instabil weil zwei positive Eigenwerte oder stabil weil wir zwei gleiche Eigenwerte haben( hier etwas unsicher)

Hoffe das ist so richtig ^^

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bei v habe ich erhalten:

\( \lambda_{1}=-2 \)

\( \lambda_{2}=-2 \)

 ->asymptotisch stabil , Alle Eigenwerte liegen in der linken Halbebene

die anderen Ergebnisse habe ich auch so