Aloha :)
zu a) Dir sind bei der zweiten Ableitung ein paar Nullen verloren gegangen:
$$f(x)=x^{\frac13}\implies f(1000)=10$$$$f'(x)=\frac13x^{-\frac23}\implies f'(1000)=\frac{1}{300}$$$$f''(x)=-\frac29x^{-\frac53}\implies f''(1000)=-\frac{1}{450\,000}$$
Das liefert die Näherung:$$\sqrt[3]{1000+x}=f(1000)+\frac{f'(1000)}{1!}(x-1000)+\frac{f''(1000)}{2!}\cdot(x-1000)^2$$$$\sqrt[3]{1000+x}=10+\frac{x-1000}{300}-\frac{(x-1000)^2}{900\,000}\implies\pink{\sqrt{1003}\approx10,00999}$$
zu b) Zur Abschätzung des Restglieds$$R(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}(x-1000)^3\quad;\quad\xi\in[1000;1000+x]$$brauchen wir noch die nächste folgende Ableitung:$$f'''(x)=\frac{10}{27}x^{-\frac83}$$In der Formel für das Restglied taucht anstatt \(x_0\) der Paramter \(\xi\) auf. Dieser ist so zu wählen, dass die Ableitung maximal wird. Da ein Bruch maximal ist, wenn sein Nenner minimal ist, ist \(\xi=1000\) zu wählen:
$$R(x)=\frac{f'''(1000)}{3!}(x-1000)^3=\frac{(x-1000)^3}{1\,620\,000\,000}\implies \pink{R(1003)=1,\overline6\cdot10^{-8}}$$
