Parameter bestimmen so dass der gegebene Flächeninhalt eingeschlossen ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie b so, dass zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen von f im Intervall [a;b] der gegebene Flächeninhalt eingeschlossen ist.

a) [0;b]; f(x)=x² -3x; A=\( \frac{10}{3} \)

Ansatz:

Ich habe die Stammfunktion gleich dem Flächeninhalt gesetzt. Leider kann ich b³  - \( \frac{9}{2} \)b² = 10 nicht weiter auflösen.

Comments

Virlleicht solltest du mit -A rechnen.

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also einfach ausprobieren ob positiv oder negativ? oder kann man das auch irgendwie berechnen?

Answer 1

zuerst eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick erhält

Nullstellen bei x1=0 und x2=3

Die gesuchte Fläche liegt unterhalb der x-Achse und hat deshalb ein negatives Vorzeichen

A=-10/3 FE

f(x)=x²-3*x  integriert

F(x)=∫(x²-3*x)*dx=∫x²*dx-3*∫x*dx

F(x)=1/3*x³-3/2*x²+C

A=obere Grenze minus untere Grenze  xo=? und xu=0

A=-10/3=(1/3*xo³-3/2*xo²) - (1/3*0³-3/2*0²)

0=1/3*xo³-3/2*xo²+10/3  Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

xo1=-1,311..<0 fällt weg

xo2=2 paßt

xo3=3,81>3  rechts neben der Nullstelle fällt weg

xo=2

Probe:A=(1/3*2³-3/2*2²) -(1/3*03-2/3*0²)=-3,333-0

A=-3,33=-10/3

Betrag: A=10/3 FE (Flächeneinheiten)

~plot~x^2-3*x;[[-5|5|-5|5]];x=2~plot~

Answer 2

f(x) = x^2 - 3·x = x·(x - 3)

F(x) = 1/3·x^3 - 3/2·x^2

Achtung: Du bedenkst nicht das Flächen auch unter der x-Achse sein können.

F(b) - F(0) = 1/3·b^3 - 3/2·b^2 = -10/3 --> b = 2

Comments

1/3·b3 - 3/2·b2 = 10/3 hatte ich ja auch schon aufgestellt, nur bin ich dort dann bei dem Gleichsetzen nicht weitergekommen.

Soll ich dann einfach ein Minus vor dem 10/3 setzen?

Das ist doch quasi genau das selbe mit dem Gleichsetzen und ich komme dort auch nicht weiter.

Könntest du das Gleichsetzen detailliert aufschreiben?

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Dann gibt es aber auch noch die Lösungen 3.8, -1.3 und 4.9

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Soll ich dann einfach ein Minus vor dem 10/3 setzen?

Du solltest dir zuerst im Klaren werden ob du eine Fläche unter oder über der x-Achse erwartest. Danach whlst du das Vorzeichen. Du kannst auch beides eiskalt probieren

1/3·b^3 - 3/2·b^2 = 10/3

Der Taschenrechner liefert hier die reelle Lösung

b = 4.914105540

Spätestens jetzt sollte auffallen das dieser Wert nicht zwischen den Nullstellen 0 und 3 liegt. Macht also keinen Sinn.

1/3·b^3 - 3/2·b^2 = -10/3

Hier liefert der Taschenrechner mit b = 2 einen Wert zwischen den Nullstellen was am meisten Sinn macht.

Bei einer kubischen Gleichung würdest du eh den ersten Wert von Hand bestimmen müssen. Da findest du also mit 2 sehr leicht die erste Nullstelle. weitere Nullstellen kannst du nach der Polynomdivision oder dem Horner Schema dann mit der pq-Formel berechnen.

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Dann gibt es aber auch noch die Lösungen 3.8, -1.3 und 4.9

x = -1.312 würde ich noch gelten lassen. Die anderen definitiv nicht.