Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, welche von 2 Funktionen eingeschlossen wird.

Question

Schönen

Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, welche von den beiden Funktionen f₁(x)=(−x^2/2)+3 und f₂(x)=((x^2)/2)−1 eingeschlossen wird.

Leider kann ich keine Bilder einfügen, daher versuche ich es mit Worten zu erklären. Wenn man sich die Graphen zeichnen lässt gibt es eine Fläche oberhalb der X-Achse und unterhalb der X-Achse.

Ich dachte nun man müsste die Nullstellen von den beiden Funktionen bestimmten und dann die Schnittpunkte und dann schauen, welche Funktion oberhalb und welcher unterhalb liegt.

Ich kann den Flächeninhalt doch nur oberhalb der X-Achse berechnen oder unterhalb der X-Achse, aber nicht beides gleichzeitig oder doch?

Stehe gerade bisschen auf dem Schlauch. :) Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte. Euer Max.

Answer 1

Hi Max,

Wenn man den Flächeninhalt einer von zwei Funktionen eingeschlossenen Fläche berechnen soll, dann berechnet man am besten deren Differenzfunktion. Da kann man dann die Nullstellen bestimmen und die Fläche berechnen.
Die Nullstellen der Differenzfunktion entsprechen dabei der Schnittstellen der beiden Funktionen :).

Differenzfunktion h(x) = f_(1)(x) - f_(2)(x) = -x^2/2+3-x^2/2+1 = -x^2+4

Die Nullstellen kann man hier direkt ablesen: 4-x^2 = (2-x)(2+x) = 0

x_(1) = -2 und x_(2) = 2

(Das war die dritte binomische Formel)

Nun integrieren wir in diesen Grenzen:

∫_(-2)^2 -x^2+4 dx = [-x^3/3 + 4x] = 32/3

Das ist der Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen.

~plot~ -x^2/2+3; x^2/2-1; 4-x^2 ~plot~

Rot und blau sind f_(1) und f_(2), während grün h entpricht.

Grüße

Comments

Danke :), war noch etwas zu früh.

Hätte einfach eine Funktion bilden sollen und diese dann integrieren!

Danke vielmals :)

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Genau :D.

Dann mal noch frohes Aufwachen^^