Integral mithilfe der Taylorreihe berechnen

Question

Ich habe 2 Fragen bezüglich 2 Aufgaben.

1) Bei der Aufgabe soll ich das Integral:  \( \int\limits_{0}^{1} x^3\cdot \cos 2x \,\text dx\)  mithilfe der Taylorreihe berechnen.

Ich weiß, dass cos x =  \( \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-1)^i }{(2i)!}} x^{2i} \) ist.

Folglich ist x³ * cos x =  \( \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-1)^i }{(2i)!}} x^{2i+3} \)

Nun weiß ich nicht wie sich die Taylorreihe mit dem cos 2x ändert (wird es dann zu x⁴ⁱ⁺³ ?).

2) Bei der zweiten Aufgabe soll ich das Integral:   \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{1}{\sqrt{1-x^3}} \)  berechnen.

\( \frac{1}{\sqrt{1-x^3}} \) als Taylorreihe (da es eine binomische Reihe ist) ist glaube ich: \( \sum\limits_{i=0}^{\infty}{ \begin{pmatrix} -1/2\\i\     \end{pmatrix} \cdot x^{3i}   } \) .

Bei der Aufgabe weiß ich nicht ob meine Aufgestelle Taylorreihe richtig ist und vorallem wie ich diese Integrieren soll.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen :)

Gruß

Comments

Hallo,

Aufgabe 1):

Ich habe es damals mittels gliedweiser Integration gelernt

1 .cos(2x)= ?

Setze z= 2x

 cos(z)=  1-z^2/2 +z^4/24-z^6/720+-+

2. z=2x

 cos(2x)= 1 - 2x^2 +2/3 x^4 -4/45x^6

3. Multipliziere nun mi x^3

x^3 * cos(2x) = ...

4. Integriere gliedweise

Lösung ohne Anwendung der Taylorreihe(zum Vergleich)

≈ -0.0083794

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Danke für die Antwort. Ich habe es soweit verstanden, jedoch besteht mein Prof darauf das ich die Taylorfunktion auftselle und da hakt es bei mit dem 2x.

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Hallo xenyro,

Tipp: nur eine Aufgabe pro Frage. Das steigert die Wahrscheinlicheit auf eine gute Antwort deutlich ;-)

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Werde ich mir merken, danke :)

Answer 1

Hallo,

Du kannst hier in der Taylorreihe des Cosinus das \(x\) durch das \(2x\) ersetzen. Wenn $$\cos(x) = \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-1)^i }{(2i)!}} x^{2i}$$dann ist$$\cos (2x) = \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-1)^i }{(2i)!}} (2x)^{2i}$$etwas umformen$$\begin{aligned}\cos (2x) &= \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-1)^i }{(2i)!}} (2x)^{2i} \\&= \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-1)^i }{(2i)!}} 2^{2i} x^{2i} \\&=  \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-4)^i }{(2i)!}}  x^{2i} \end{aligned}$$und dann mit \(x^3\) multiplizieren$$x^3 \cdot \cos(2x) =  \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-4)^i }{(2i)!}}  x^{2i+3} $$das ist die gesuchte Taylorreihe. Und das Integral wäre dann $$\begin{aligned} \int\limits_0^1 x^3 \cdot \cos(2x) \,\text d x &= \left. \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-4)^i }{(2i)! \cdot (2i+4)}}  x^{2i+4} \right|_0^1 \\&=  \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ (-4)^i }{(2i)! \cdot (2i+4)}} \\&= \frac 14 - \frac1{3} + \frac1{12} - \frac2{225} + \frac1{1890} + \dots \\&\approx -0,00837942 \end{aligned}$$Zur Anschauung der Plot der Funktion:

~plot~ x^3*cos(2x);[[-0.2|1.3|-0.7|0.3]];x=1 ~plot~
Gruß Werner

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Vielen Dank!, jedoch verstehe ich nicht ganz warum beim Umformen im Zähler -4 wird.

Gruß

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jedoch verstehe ich nicht ganz warum beim Umformen im Zähler -4 wird.

$$\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{ \colorbox{#ffff00}{(-1)}^{\colorbox{#ffff00}i} }{(2i)!}} \colorbox{#ffff00}{2}^{\colorbox{#ffff00}{2i}} x^{2i}$$es geht um den oben markierten Teil des Terms$$\begin{aligned} (-1)^i \cdot 2^{2i} &= (-1)^i \cdot \left( 2^2\right)^i \\&= (-1)^i \cdot 4^i \\&= (-1 \cdot 4)^i \\&= (-4)^i\end{aligned}$$

Answer 2

Hallo,

du sollst hier eine näherungsweise Rechnung durchführen.

Taylirentwicklung an der Stelle x=0:

x^3 *cos(2x)≈x^3* (1-(2x)^2/2)

=x^3-2x^5

Integriert

1/4x^4 - 1/3x^6

von 0 bis 1

=1/4-1/3=3/12 -4/12=-1/12 ≈-0.0833

zur zweiten Aufgabe:

hier kannst du die binomische Reihe verwenden, vielleicht bis zum quadratischen Glied, daher

(1+x)^α ≈ 1+αx +1/2 (α-1)α x^2

daher

1/(1+x^3)^{1/2}=(1+x^3)^{-1/2}

≈ 1-1/2 x^3 +3x^6/8

integriert

x-1/8 x^4+3x^7/56

von 0 bis 1

1-1/8 +3/56=13/14

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Danke, hat mich weitergebracht :)