Zeige das für U1 und U2 gilt U1⊕U2= Rn

Question

Habe bereits nachgewiesen, dass U1 und U2 Unterräume des Rn sind, aber komme nicht weiter beim zeigen von: U1⊕U2= Rn

\( U_{1}:=\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n}: \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=0\right\} \)

\( U_{2}:=\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n}: x_{1}=\cdots=x_{n}\right\} \)

Comments

Zeige dass im Schnitt nur der Nullvektor liegt (einfach)!

Und argumentiere dann z.B. über die Dimensionsformel:

$$ \dim U_1+U_2 = \dim U_1 +\dim U_2 = n-1+1=n$$

dass \( U_1+U_2 = \mathbb{R}^n \)

Oder rechne explizit nach, dass für alle \( v\in  \mathbb{R}^n\) Vektoren \( u_1\in U_1\) und \( u_2\in U_2\) mit \( v=u_1+u_2\) existieren.

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Danke für die schnelle Antwort! Kannst du mir einen Tipp geben wie ich Dim U2 = n-1 elegant zeigen kann?

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wie ich Dim U2 = n-1 elegant zeigen kann?

Versuche es mit U1

Betrachte die Lineare Abbildung:

$$ f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R},~ v \mapsto \begin{pmatrix} 1 & \dotsm & 1\end{pmatrix} v $$

Der Kern ist gerade \( U_1 \). Die Abbildung ist surjektiv, also \( \dim \operatorname{Bild} f = 1 \). Dann verwende den Rangsatz:

https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz

Answer 1

wie ich Dim U2 = n-1 elegant zeigen kann?

Zerlege die lange Gleichung in x1 = x2   also   x1 - x2 = 0

und   x2 = x3   also x2 - x3 = 0

und x3 = x4 etc.

Dann bekommst du ein homogenes lin. Gleichungssystem mit der Matrix

1    -1     0       ……………  0
0    1      -1     ……………..  0

…………………………….

0     0 ………………   1     -1

und das hat offenbar den  Rang n-1 also dim ( U2) = 1 .

Aber U1 hat die dim n-1 , denn du hast ja nur eine Gleichung

x1 + x2 + …+ xn = 0

kannst alsi x2 bis xn frei wählen (Das sind n-1 Stück)

und dann x1 = - x2 - …- xn  setzen.