Zeigen Sie, dass ℝ3 = U1 ⊕ U2 gilt.

Question

Aufgabe:

Sei a = (a₁ a₂ a₃) ∈ ℝ³ und betrachte die Unterräume U₁ := ⟨a⟩, U₂ := {x = (x₁ x₂ x₃) ∈ ℝ³ | a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃=0}

Zeigen Sie, dass ℝ³= U₁ ⊕ U₂ gilt.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es die Eigenschaften der direkten Summe zu zeigen:
D1: ℝ³ = ∑^r _i=1 U_i

U₁ = ⟨a⟩ ist ja für c₁,c₂,c₃ ∈ ℝ c₁*(a₁ 0 0) + c₂*(0 a₂ 0) + c₃*(0 0 a₃), also (c₁a₁ c2a₂ c₃a₃)
U₂ wäre dann (a₁x₁ a₂x₂ a₃x₃) und U₁ + U₂ = (a₁ a₂ a₃) * (c₁+x₁ c₂+x₂ c₃+x₃) was ja ℝ³ ist.

D2: Für jedes i∈{1,...,r} gilt U_i ∩ ∑_j≠i U_j = {0}
Hier erkenne habe ich aber Schwierigkeiten und weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll.
Ist der Ansatz richtig und D1 ansatzweise korrekt gezeigt? Wie würde man sonst vorgehen?

Answer 1

U1 = ⟨a⟩ ist ja für c1,c2,c3 ∈ ℝ c1*(a1 0 0) + c2*(0 a2 0) + c3*(0 0 a3), also (c1a1 c2a2 c3a3)

Nein die Elemente von U1 sehen alle so aus

 \( c \cdot \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ca_1\\ca_2 \\ca_3 \end{pmatrix} \)

Also bei allen 3 Komponenten das gleiche c.

Und in U2 sind die Lösungen \( \vec{x} ∈ℝ^3 \) des

Gleichungssystems \(   a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 \).

Wenn nun \( \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1\\u_2 \\u_3 \end{pmatrix}  \) irgendein Element von ℝ^3 ist,

würde ich zwei Fälle unterschieden:

1. Fall:   \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \end{pmatrix}  \)

Dann ist U1 =  { \( \vec{0} \) } und U2 = ℝ^3.

Also ist \( \vec{u} \) als Summe \( \vec{0} \) +  \( \vec{0} \)

je eines Elementes aus U1 und U2 darstellbar und U1∩U2 =   { \( \vec{0} \) }.

Also in diesem Fall R^3 die direkte Summe der beiden.

Im 2. Fall ist mindestens eine Komponente von \( \vec{u} \) ungleich 0,

etwa die erste, also a1≠0. Dann gibt es ein c mit c = u1/a1.

==>   \( c \cdot \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_1\\ca_2 \\ca_3 \end{pmatrix} ∈U_1\)

Und es ist \( \vec{v}  =\vec{u} - \begin{pmatrix} u_1\\ca_2 \\ca_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\u_2-ca_2 \\u_3-ca_3 \end{pmatrix} \)

Wenn man nun zeigen kann, dass   \( \vec{v} \) aus U2 ist, wäre klar,

dass   \( \vec{u} \) sich als Summe zweier Elemente aus U1 und U2

schreiben lässt.

Comments

Achso, wenn ich das jetzt richtig verstehe: Demnach würde bei D1 ja folgendes stehen:

(a₁ a₂ a₃) * (c+x₁ c+x₂ c+x₃) = ℝ³, was ja wegen der Abgeschlossenheit gilt.

Und bei D2: U₂ ist der Nullvektorraum wegen dem Gleichungssystem (da ja x₁,x₂,x₃ = 0 sein müssen damit die Gleichung gilt).
Wenn c = 0 bei U₁ dann ist 0*(a₁ a₂ a₃) = (0 0 0) 
Demnach ist U₁ ∩ U₂ = {0}

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Wenn man nun zeigen kann, dass   \( \vec{v} \) aus U2 ist

Zeigt man ja indem an a1*x1+a2*x2+a3*x3 = 0 löst, also für x1 = 0, x2 = (u2/a2)-c und für x3 = (u3/a3)-c einsetzt. Dann hat man

0+u2-a2*c + u3-a3*c = 0

Stimmt das?