Zeigen Sie: U1+U2= ⋂ W.

Question

Sei V ein Vektorraum und U1, U2 Unterräume von V.

Zeigen Sie: U1+U2=   ⋂            W.

                       W Unterraum von V

                         U1,U2⊆W

Answer 1

Also in Worten heißt das ja:

U1 + U2 ist der Durchschnitt aller Unterräume von V, die U1 und U2 enthalten.

Dabei ist ja U1 + U2 wohl so definiert:
Menge aller v∈V, für die es ein u1∈U1 und u2∈U2 gibt mit v=u1+u2.

Sei also v ∈ U1 + U2

==>  Es gibt ein u1∈U1 und u2∈U2 gibt mit v=u1+u2.

Ist nun W ein Unterraum von V, der U1 und U2 enthält,
dann enthält er u1 und u2 und damit auch deren Summe,

also auch v. ==>   v liegt in allen Unterräumen,

die U1 und U2 enthalten, also auch in deren Durchschnitt.

Für die umgekehrte Inklusion schau mal dort:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Summe_von_Unterr%C3%A4umen#%C3%84quivalente_Charakterisierung