Durchschnitt von zwei Untervektorräumen U1,U2

Question

Aufgabe:

$$\text{ Sei } V=R^3 \text{ und } U_1,U_2 \subseteq V.$$

gg:
$$U_1=<\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}> $$

$$U_2=<\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}> $$

gs:

$$ U_1 \cap U_2 $$

Problem/Ansatz:

Ich komme darauf das der Vektor: $$\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$$ in dem Durchschnitt liegt.

in der Lösung wird aber gesagt, das der Vektor:

$$ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} $$

auch noch drin liegt, da dieser als Linearkombination von den Vektoren aus U_2 dargestellt werden kann.

Wo finde ich die Definition welche mir sagt das dies stimmt und somit

$$U_1 \cap U_2 = <\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}>$$

ist.

Comments

Es ist \( U_1 = U_2\) und damit auch \( U_1 \cap U_2 = U_1 = U_2 \).

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Sorry, das ist natürlich nicht richtig, vgl. die Antwort von Tschakabumba.

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N: Es hat jetzt hier 2 verschiedene Antworten. Ist Die klar, welche richtig ist?

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Ich gehe davon aus, das die erste Antwort richtig ist, wegen der Linearkombination, oder ist das jetzt doch falsch?

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Also die Antwort von M ist richtig  Siehe auch lul. Die Antwort von T ist falsch.

Answer 1

Beide Vektoren von U2 sind Linearkombinationen der Vektoren von U1 und damit gilt

U2 = U1 und damit U1 ∩ U2 = U1 = U2

Answer 2

Hallo

rechne mal :(1,0,1)+2*(0,1,1)

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

\(U_1\) und \(U_2\) sind Ebenen durch den Urpsrung mit jeweils den beiden angegebenen Richtungsvektoren als Basisvektoren. Die Schnittmenge \((U_1\cap U_2)\) ist der Unterraum, der sowohl in \(U_1\) als auch in \(U_2\) liegt.

Da beide Unterräume den Richtungsvektor \((1;0;1)^T\) enthalten und die beiden anderen Richtungsvektoren \((1;2;3)^T\) und \((0;1;1)^T\) linear unabhängig sind, sind die beiden Unterräume nicht gleich und schneiden sich in einer Geraden durch den Ursprung mit dem Richtungsvektor \((1;0;1)^T\).

$$U_1\cap U_2=\left<\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right>$$