Aloha :)
Wir integrieren die partielle Ableitung nach \(x\) und erhalten eine Integrations"konstante" \(g(y)\), die von \(y\) abhängen darf:$$\partial_xf(x,y)=(4-x^2)(y+3)=4y+x^2y+12-3x^2$$$$f(x,y)=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)(y+3)+g(y)$$Diese Funktion leiten wir partiell nach \(y\) ab, um g'(y) zu erhalten:$$\partial_y f(x,y)=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)+g'(y)\stackrel{!}{=}\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)-8y$$$$\Rightarrow\quad g'(y)=-8y\quad\Rightarrow\quad g(y)=-4y^2+c\quad;\quad c=\text{const}$$Die Funktion lauetet daher:$$f(x,y)=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)(y+3)-4y^2+c\quad;\quad c=\text{const}$$
Bei einem Extrempunkt muss die partielle Ableitungen nach \(x\) verschwinden:$$0\stackrel{!}{=}\partial_x f(x,y)=(4-x^2)(y+3)\quad\Rightarrow\quad x=\pm2\quad\lor\quad y=-3$$Für \(y=-3\) ist \(f(x,-3)=-36+c\) für alle \(x\). Daher kann dort weder ein Sattelpunkt noch ein Extremum vorliegen. Bei einem Extrempunkt muss aber auch die partielle Ableitung nach \(y\) verschwinden:$$0\stackrel{!}{=}4x-\frac{x^3}{3}-8y=\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{3}-8y &;&x=2\\-\frac{16}{3}-8y &;&x=-2\end{array}\right.$$Das liefert uns folgende Kandidaten für Extremwerte bzw. Sattelpunkte:$$\left(2\left|\frac{2}{3}\right.\right)\quad;\quad\left(-2\left|-\frac{2}{3}\right.\right)$$Müsst ihr noch nachweisen, welcher Punkt Extremum und welcher ein Sattelpunkt ist? Oder reicht die Angabe der Kandidaten? Der Nachweis ist nämlich noch mal etwas Rechnerei. Der erste entpuppt sich als Maximum, der zweite als Sattelpunkt.
