Rand eines metrischen Raumes (X, Y)

Question

Halloooooo,

ich soll beweisen, dass \( \partial (M \times N) = (\partial M \times \bar N) \cup (\bar M \times \partial N) \)

Bisher habe ich:

\( \partial (M \times N) = \overline{(M \times N)} \setminus (M \times N)^{\circ} = (\bar M \times \bar N) \setminus (M^{\circ} \times N^{\circ}) \)

Von hier aus weiß ich leider nicht weiter.

Man könnte vielleicht versuchen zu zeigen, dass das folgendem gleicht:

\( ((\bar M \setminus M^{\circ}) \times \bar N) \cup (\bar N \times (\bar M \setminus N^{\circ})) \)

Aber falls dieser Schritt richtig ist, weiß ich leider nicht wie er funktioniert.

Wäre für einen Lösungsansatz sehr dankbar.

Answer 1

Hallo,

wenn das, was Du unter "Bisher habe ich" gesichert ist, kannst Du so fortfahren:

$$(x,y) \in (\bar{M} \times \bar{N}) \setminus (M° \times N°)$$

$$\iff (x \in \bar{M} \land y \in \bar{N}) \land ( x \notin M° \lor y \notin N°)$$

$$\iff (x \in \bar{M} \land y \in \bar{N} \land  x \notin M°) \lor  (x \in \bar{M} \land y \in \bar{N}\land (y \notin N°)$$

$$\iff (x \in \partial M  \land y \in \bar{N}) \lor  (x \in \bar{M} \land y \in \partial N)$$

Gruß

Comments

Die anderen Umformungen musste ich zuvor beweisen^^

Das auf diese Art zu lösen, kam mir gar nicht in den Sinn, ist eigentlich recht simpel, aber trotzdem sehr schlüssig :)

Dankeschön