Zeigen Sie das die Menge {0} bzgl des metrischen Raumes ℝ und der euklidischen Metrik nicht offen ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie das die Menge {0} bzgl des metrischen Raumes ℝ und der euklidischen Metrik nicht offen ist.

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich wäre sehr dankbar wenn jemand über meinen Beweis schauen könnte:

Beweis durch Widerspruch:

Angenommen {0} wäre offen und sei x ∈ ℝ bel. Da {0} offen ist muss diese insbesondere eine Umgebung von x sein, d.h es existiert ein ε > 0, sodass Bε(x) ⊆ {0}.

Das bedeutet das Bε(x) = (x-ε,x+ε) ⊆ {0} -> (x-ε,x+ε) = {0}. Demnach müsste aber x-ε gleich sein (denn wenn es kleiner als 0 wäre, dann würde es weitere Elemente geben und die Menge wäre nicht mehr einelementig, analoge Begründung für x+ε).

Das heisst es wäre nur (0,0) möglich, jedoch ist (0,0) = ∅ -> A ist nicht offen.

Answer 1

offen heißt eine Menge M hier doch, wenn sie mit jedem x auch eine ε-Umgebung von x

enthält.  Da M hier einelementig ist, müsste sie zu diesem einen Element 0 auch

eine ε-Umgebung von 0 enthalten. Eine solche Umgebung enthält aber z.B. die

Zahl ε/2. Die ist verschieden von 0, also nicht in M. Somit ist M nicht offen.