Aufgabe:
c) Seien \( M_{n}=\left\{x \in \mathbb{R} \mid n-\frac{1}{n}<x<n+\frac{1}{n}\right\}, n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie, dass \( M=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} M_{n} \) bezüglich der euklidischen Metrik offen in \( \mathbb{R} \) ist.
d) Gegeben sind die Mengen
\( \begin{array}{l} A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid\left(x_{1}-1\right)^{2}+\left(x_{2}-3\right)^{2}<4\right\} \\ B=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1} \in(1,3) \wedge x_{2}=0\right\} \end{array} \)
Sind diese Mengen offen in \( \mathbb{R}^{2} \) ? Sind sie abgeschlossen in \( \mathbb{R}^{2} \) ? Beweisen Sie jeweils Ihre Behauptung. Geben Sie für \( A \) und \( B \) jeweils das Innere, den Abschluss und den Rand an. Argumentieren Sie auch hier bezüglich der euklidischen Metrik.
