Affine Unterräume . Bestimmen Sie T Schnitt T'

Question

Im ℝ⁵seien folgende affine Unterräume gegeben:

T=(1,2,3,0,0)+ℝ⟨(1,0,1,1,0),(1,-2,3,1,0)⟩

T'=(0,0,1,2,3)+ℝ⟨(2,1,1,2,0),(-1,0,1,0,1),(0,1,0,1,1)⟩

Bestimmen Sie T ∩ T'

Wie muss ich die Aufgabe lösen. Einen Ansatz hab ich nicht wirklich.

Answer 1

Es ist x ∈ T genau dann wenn r,s ∈ ℝ existieren, so dass

    (1,2,3,0,0) + r·(1,0,1,1,0) + s·(1,-2,3,1,0) = x

ist. Formuliere analog dazu eine Gleichung, die genau dann erfüllt ist, wenn x ∈ T' ist. Löse das entstandene Gleichungssystem.

Comments

Also ich habe jetzt analog dazu folgende Gleichung aufgestellt

(0,0,1,2,3)+r(2,1,1,2,0)+s(−1,0,1,0,1)+t(0,1,0,1,1)=y

ISt das so richtig und wie muss ich das jetzt mit dem Gleichungssystem machen. Könntest du mir das erklären

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> (0,0,1,2,3)+r(2,1,1,2,0)+s(−1,0,1,0,1)+t(0,1,0,1,1)=y

Formuliere eine Gleichung, die genau dann erfüllt ist, wenn x ∈ T' ist. Das hast du nicht gemacht. Du hast eine Gleichung formuliert, die genau dann erfüllt ist, wenn y ∈ T' ist.

Außerdem: das r und das s in meiner Gleichung bedeuten "Welche Vielfache von (1,0,1,1,0) bzw. (1,-2,3,1,0) können zu (1,2,3,0,0) addiert werden, um x zu erhalten". In deiner Gleichung bedeuten r und s dagegen: "Welche Vielfache von (2,1,1,2,0) bzw. (−1,0,1,0,1) können zu (0,0,1,2,3) addiert werden, um y zu erhalten".

Das ist normalerweise kein Problem. In diesem Fall sollen die zwei Gleichungen aber zu einem Gleichungssystem zusammengefasst werden. Und da müssen gleiche Variablen das gleiche  bedeuten. Verwende für deine Gleichung andere Variablen.

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Okay.

Ist das so richtig?

(0,0,1,2,3)+u(2,1,1,2,0)+v(−1,0,1,0,1)+w(0,1,0,1,1)=x

oder ist diese Gleichung immer noch falsch?

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Sieht besser aus. Jetzt hast du ein Gleichungssystem

        (1,2,3,0,0) + r·(1,0,1,1,0) + s·(1,-2,3,1,0) = x

        (0,0,1,2,3) + u·(2,1,1,2,0) + v·(−1,0,1,0,1) + w·(0,1,0,1,1) = x

Löse es.

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Lautet das Gleichungssystem dann

x=x

(1,2,3,0,0) + r·(1,0,1,1,0) + s·(1,-2,3,1,0) = (0,0,1,2,3) + u·(2,1,1,2,0) + v·(−1,0,1,0,1) + w·(0,1,0,1,1)

und kann man es dann so erstmal vereinfachen?

(1,2,2,-2,-3)+r·(1,0,1,1,0) + s·(1,-2,3,1,0)=u·(2,1,1,2,0) + v·(−1,0,1,0,1) + w·(0,1,0,1,1)

und was muss ich jetzt tuen

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Das  x=x ist, ist trivial.

(1,2,3,0,0) + r·(1,0,1,1,0) + s·(1,-2,3,1,0) = (0,0,1,2,3) + u·(2,1,1,2,0) + v·(−1,0,1,0,1) + w·(0,1,0,1,1) bekommt man auf jeden Fall mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Subtrahiere jetzt u·(2,1,1,2,0) + v·(−1,0,1,0,1) + w·(0,1,0,1,1) und subtrahiere dann (1,2,3,0,0). Dadurch bekommst du

        r·(1,0,1,1,0) + s·(1,-2,3,1,0) - u·(2,1,1,2,0) - v·(−1,0,1,0,1) - w·(0,1,0,1,1) = (-1,-2,-2,2,3)

Diese Gleichung kannst du jetzt in ein Gleichungssystem

        1r + 1s - 2u - (-1)v - 0w = -1

        0r + (-2)s - 1u - 0v - 1w = -2

        [weitere drei Gleichungen]

überführen wie du es auch aus der Schule kennst.

       

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danke für deine Hilfe. ist die aufgabe erledigt wenn man das gleichungssystem gelöst hat?

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Die Aufgabe lautet "Bestimmen Sie T ∩ T'".

Die Aufgabe ist erledigt, wenn man in dem Satz "T ∩ T' ist [hier irgendetwas einsetzen]." den Teil "[hier irgendetwas einsetzen]" durch etwas ersetzt hat, das weit über das triviale (a la "die Schnittmenge von T und T'") hinausgeht.