hallo,
ich habe eine Aufgabe, bei der ich Hilfe bräuchte. Darüber würde ich mich also sehr freuen :)
Seien \( (X, T(X), \tau) \) und \( \left(Y, T(Y), \tau^{\prime}\right) \) affine Räume. Sei \( f: X \rightarrow Y \) eine affine Abbildung und \( F: T(X) \rightarrow T(Y) \) die zugehörige lineare Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dass \( f(X) \) ein affiner Unterraum von \( Y \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass \( f \) genau dann injektiv/surjektiv/bijektiv ist, wenn \( F \) injektiv/surjektiv/bijektiv ist.
Sei \( X \) endlich dimensional und \( p_{0}, \cdots p_{n} \) eine Basis für \( X . \) Seien \( q_{0}, \cdots, q_{n} \) Punkte in \( Y \) so, dass \( f\left(p_{i}\right)=q_{i} \) für \( 0 \leq i \leq n \)
(c)Zeigen Sie, dass \( q_{0} \vee q_{1} \vee \cdots \vee q_{n} \subset f(X) \)
(d)Zeigen Sie, dass \( F(T(X)) \) von den Vektoren \( F(\overrightarrow{p_{i} p_{j}}) \) für \( 0 \leq i, j \leq n \) aufgespannt wird.
(e)Folgern Sie aus (c) und (d),dass \( f(X)=q_{0} \vee q_{1} \vee \cdots \vee q_{n} \)
(f) Seien \( X \) und \( Y \) affine Unterräume eines \( K \) Vektorraums \( V \). Angenommen \( p_{0}=q_{0}=0 . \) Zeigen Sie, dass \( f \) linear ist.
