Question

Topologie . R^2 mit euklidischer Metrik. Mengen abgeschlossen oder offen? Bsp. |x| ≤ |y|

ich beschäftige mich gerade mit der folgenden Aufgabe . Man muss herausfinden ob Aj offen, abgeschlossen oder keines von beidem ist . Man sollte ebenfalls jeweils den offenen Kern, den Abschluss und den Rand von Aj in Formeln angeben . Nun weiß ich nicht wie ich vorgehen soll : kann mir jemand dabe

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Schau mal ob dich das weiter bringt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%7Cx%7C<%3D%7Cy%7C

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2+-+y%5E2+>+1+and+%7Cy%7C+<%3D1

Answer 1

A1 ist abgeschlossen, aber nicht offen.

Denn es ist R^2 \ A1 offen; denn wenn ein Punkt darin liegt gilt

|x| > |y| und dann gibt es eine ganze Umgebung um den Punkt, für den das stimmt.

A1 ist nicht offen, denn z.B. ist (0;0) ∈ A1 und in jeder ε-Umgebung um (0;0) gibt es

Punkte - wie etwa (ε/2 ; 0)  -   , die nicht in A1 liegen.

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A2 auch oder?

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A2 würde ich mal so tippen:    weder noch.

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Können Sie mir erklären warum ?

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@Sandra:

Du hast noch immer nicht die Schreibregeln eingehalten. Ich habe nun deine Überschrift und die Tags präzisiert und die Überschrift im Fragestext wiederholt.

Du kannst den Rest noch selbst erledigen. Auch bei all deinen andern Fragen. Ergänze Kommentare.

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Sieh dir den Plot vom Mathecoach dazu an.

Offenbar ist (2;1) ein Punkt von A2 und

in jeder ε-Umgebung um ihn liegt aber ein Punkt wie (2;1+ε), also

ist A2 nicht offen.

Andererseits ist das Komplement auch nicht offen; denn etwa

(1;0) liegt im Komplement, aber in  jeder ε-Umgebung um ihn liegt aber ein Punkt wie (1+ε;0) , der dann allerdings in A2 liegt.